ekstremum funkcji wielu zmiennych bardzopilne: Obliczyć ekstrema funkcji f(x,y)=3x²y−x³−y⁴ Obliczyłem już pochodne cząstkowe, drugie pochodne, punkty stacjonarne i mam tylko problem z jednym rozwiązaniem. Dla punktu P₁=(0,0) obydwa minory hesjanu są równe zero. Jak z definicji udowodnić, że w tym punkcie jest/nie ma ekstremum?

PW: A pomyśleć nad kontrprzykładem − pokazać, że w każdym sąsiedztwie punku P₁ są takie punkty, dla których wartość funkcji jest dodatnia i takie, dla których wartość f jest ujemna. Znakomicie nadają się punkty (x, 0): f(x, 0) = − x³, a więc dla x > 0 jest f(x, 0) < 0, zaś dla x < 0 jest f(x, 0) > 0. Wniosek: f(0, 0) = 0 i w dowolnym sąsiedztwie punktu (0, 0) funkcja f przyjmuje zarówno wartości ujemne, jak i wartości dodatnie. W punkcie P₁ funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.