Pole trójkąta wektory Kazik: Dane są punkty A[1,1,0] B[2,3,1] C[4,1,5] Oblicz pole równoległoboku rozpiętego na wektorach AB i AC. Rozwiązanie: wektor a: AB=[1,2,1] wektor b: AC=[3,0,5] a x b : |1 2 2| =| 2 1|, − |1 1|, |1 2| |3 0 5| =| 0 5|, |3 5|, |3 0| Czyli a x b = [10, −2, −6] Pole = sqrt{10² + (−2)² + (−6)²} = sqrt70 Czy dobrze?

Kazik: yyyyy... P=√140

Mila: AB^→ x AC^→=[1,2,1] x [3,0,5]=[10,−2,−6] P=√10²+2²+6²=√140=√4*35=2√35

Kazik: Czyli dobrze Dzięki! a jakiś pomysł na to zadanie: W jakich punktach płaszczyzna x+3y−2z=6 przecina osie układu. Jakieś wskazówki?

Jerzy: a np: jakie ma współrzędne (x,y) punkt leżący na osi OZ ?

Kazik: np P:(0,0,a)

Jerzy: no to w czym problem ? ( punkt leży na osi OZ i należy do podanej płaszczyzny )

Mila: Oś OX : P_x=(x₀,0,0) Os OY: P_y=(0,y₀,0) Oś OZ: P_z=(0,0,z₀) licz.

Kazik: Czyli tak: Mam punkt P(0,0,a) i płaszczyznę: x+3y−2z−6=0 płaszczyzna Ax+By+Cz+D= 0 ⇒ A=1, B=3, C=−2, D=−6. Punkt P(x,y,z). 1*0+3*0−2*a−6=0 a=−3 Płaszczyzna przecina oś OZ w P(0,0,−3) i analogicznie dla Q(0,b,0) w OY i R(c,0,0) w OX?

Jerzy: ale kombinujesz: na osi OZ .. podstawiasz :x = y = 0 na osi OY ........................ :x = z = 0 na osi OX ......................: :y = z = 0

Jerzy: dobrze , tylko po co tyle pisania

Kazik: Ok załapałem A tu mogę prosić o sprawdzenie? Znajdź odległość pomiędzy płaszczyzną x+2y+3z−6=0, a 2x+4y+6z−6=0: x+2y+3z−6=0/*2 ⇒2x+4y+3z−12=0 2x+4y+6z−6=0

	−12−(−6)
d=
	√22+42+62

	6
d=
	√56

Jerzy: tak

Kazik: A tutaj mogę prosić jakiś sugestie: Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(1,2−3) prostopadłej do prostej x=t,y=t+2, z=3t−1. Równanie płaszczyzny ma wzór: Ax+By+Cz+D=0, x,y,z mam i teraz chyba potrzebny mi wektor prostopadły do płaszczyzny? tylko jak go otrzymać?

Mila: n^→=k^→=[ 1,1,3] wektor kierunkowy prostej będzie wektorem normalnym płaszczyzny.

Kazik: Ok prosta ma równanie: x+y+3z+6=0; a możesz powiedzieć skąd wziąć ten wektor kierunkowy?

Mila: Równanie parametryczne prostej l: x=0+t, y=2+t, z=−1+3t , t∊R Prosta ta przechodzi przez punkt P=(0,2,−1) a jej wektor kierunkowy to k^→=[1,1,3] Równanie płaszczyzny π, gdzie P(1,2−3)∊π 1*(x−1)+1*(y−2)+3*(z+3)=0 x−1+y−2+3z+9=0 x+y+3z+6=0 ===========

Kazik: ok dzięki bardzo