rekurencja student: a_n=2a_n−1 − a_n−2 Wiemy, że a₃=4. Jak znaleźć wzór rekurencyjny?

student: a a₂=3

Mariusz: A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞{a_nxⁿ}=∑_n=2^∞2a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞−a_n−2xⁿ ∑_n=2^∞{a_nxⁿ}=2x(∑_n=2^∞{a_n−1xⁿ⁻¹)−x²(∑_n=2^∞−a_n−2xⁿ⁻²) ∑_n=2^∞{a_nxⁿ}=2x(∑_n=1^∞{a_nxⁿ)−x²(∑_n=0^∞−a_nxⁿ) ∑_n=0^∞{a_nxⁿ}−a₁x−a₀=2x(∑_n=0^∞{a_nxⁿ−a₀)−x²(∑_n=0^∞−a_nxⁿ) A(x)−a₁x−a₀=2x(A(x)−a₀)−x²A(x) A(x)−a₁x−a₀=2xA(x)−2a₀x−x²A(x) A(x)(1−2x+x²)=(a₁−2a₀)x+a₀

	(a1−2a0)x+a0
A(x)=
	(1−x)2

	(a1−2a0)((x−1)+1)+a0
A(x)=
	(1−x)2

	a1−2a0		a1−a0
A(x)=−		+
	1−x		(1−x)2

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	1
∑n=0∞nxn−1=−		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

A(x)=(2a₀−a₁)(∑_n=0^∞xⁿ)+(a₁−a₀)(∑_n=0^∞(n+1)xⁿ) a_n=(2a₀−a₁)+(a₁−a₀)(n+1) a_n=(a₁−a₀)n+a₀ 3(a₁−a₀)+a₀=4 2(a₁−a₀)+a₀=3 3a₁−2a₀=4 2a₁−a₀=3 3a₁−2a₀=4 −4a₁+2a₀=−6 −a₁=−2 a₁=2 2a₁−3=a₀ 4−3=a₀ a₁=2 a₀=1 a_n=(a₁−a₀)n+a₀ a_n=n+1 Tak na dobrą sprawę można było zgadnąć ale za zgadywanie zwykle na kartkówkach nie dają punktów