zombi2: Spróbuj ze wzorami Viete'a:
Niech w(t) = (t−x)(t−y)(t−z) = t
3 − (x+y+z)t
2 + (xy+xz+yz)t − xyz = t
3 − at
2 + bt − c
⇒
| ⎧ | x+y+z=a | |
| ⎨ | xy+xz+yz=b | ⇔
|
| ⎩ | xyz=c | |
| ⎧ | x+y+z=0 | |
| ⎨ | xy+xz+yz=b |
|
| ⎩ | xyz=c | |
I teraz mając takie równości wyprowadzamy wzory na nte potęgi:
Np. x
2+y
2+z
2 = (x+y+z)
2 − 2(xy+yz+xz) = 0 − 2b = −2b ⇔
x
2+y
2+z
2 = −2b.
Dalej np.
x
3+y
3+z
3 = (x+y+z)(x
2+y
2+z
2) −
(xy2+xz2 + yx2 + yz2 + zx2 + zy2)
(xy2+xz2 + yx2 + yz2 + zx2 + zy2)
wyprowadzamy stąd, że
x(xy+xz+yz) + y(xy+xz+yz) + z(xy+xz+yz) =
(xy2+xz2 + yx2 + yz2 + zx2 + zy2) + 3xyz =
(xy2+xz2 + yx2 + yz2 + zx2 + zy2) + 3c, ale
(x+y+z)b =
(xy2+xz2 + yx2 + yz2 + zx2 + zy2) = 0, czyli
x3+y3+z3 = −3c
itd. itd.
