Stereometria Metis: Stereometria Cześć Zaczynam naukę stereometrii. Proszę o zadanka i małe podpowiedzi do nich. Od czego zacząć rysunku, co rozpatrywać itp. Na razie od najprostszych

Mila: 1) W czworościan foremny o krawędzi długości a wpisano kulę. Obliczyć stosunek objętości tej kuli do objętości czworościanu. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a) rysunek czworościanu z oznaczeniami.

dero2005: W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są jednakowej długości. Oblicz miarę kąta α przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. Oznacz na rysunku kąt α.

dero2005: W stożek o promieniu podstawy √3 i wysokości 2 wpisano graniastosłup prawidłowy trójkątny w taki sposób , że dolna podstawa graniastosłupa zawiera się w podstawie stożka , a wierzchołki górnej podstawy leżą na powierzchni bocznej stożka.Oblicz objętość graniastosłupa wiedząc że wszystkie jego krawędzie są równej długości. Rys.

	54√3
Odp: V =
	125

Mila: Dero, ładne zadanka, numeruj, to łatwiej porozumiemy się .

Metis: Dziękuje Wam Robię po kolei.

Metis: Milu czy na tym rysunku ma znaleźć się ta kula którą wpisujemy? Jak ją ładnie wykreślic?

Metis: Mój rysunek : http://i.imgur.com/wZC58hP.png

dero2005: 3) Podstawą ostrosłupa prostego ABCD jest trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątne mają długość |AB|= 6 cm, |BC| = 8 cm. Wysokość ostrosłupa jest równa 12 cm. Środki krawędzi AB, BC, CD i AD wyznaczają płaszczyznę przekroju tego ostrosłupa. Oblicz pole przekroju ostrosłupa tą płaszczyzną. Odp:6√29

dero2005: 4) Sześcian i ostrosłup prawidłowy czworokątny mają w podstawie kwadrat o boku długości 10. Wiadomo, że objętość ostrosłupa jest równa objętości sześcianu. a) Wyznacz wysokość ostrosłupa. b) Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. c) Wyznacz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

dero2005: 5) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma długość 15 cm i tworzy z przekątną graniastosłupa, wychodzącą z tego samego wierzchołka, kąt 30°. Oblicz objętość graniastosłupa oraz długość jego przekątnej.

wmboczek: @dero2005 w 2) na pewno tyle? w mianowniku 343?

dero2005: 6) Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 3 cm. Spodek wysokości ostrosłupa jest jednym z wierzchołków podstawy. Ściana boczna, która nie zawiera wysokości ostrosłupa, jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz: a) wysokość ostrosłupa, b) objętość ostrosłupa, c) pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, d) sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa

dero2005: 7) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna przechodząca przez krawedź podstawy i środek wysokości tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Wyznacz objetość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

5-latek: Metis a dokonczyles tamto zadanie ?

Mila: Twój rysunek dobry, ale to nie wszystko. Tu masz dobry rysunek, bez kątów do Twojego zadania http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=21&t=4742

Metis: Jeszcze nie 5−latku Muszę złapać podstawy stereometrii bo ostatnio styczność z nią miałem w gimnazjum. Wtedy je rozwiąże

dero2005: 8) Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę?

Metis: Zadanie nr 1 dero2005 α=45^o ?

Metis: Obiecuje Ci to 5−latku

Metis: 1) dero http://i.imgur.com/P9Rvfo6.png

dero2005: 9) Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do podstawy pod kątem 45 stopni. oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca ,jeśli jego przekątna ma długość 18 dm.

dero2005: rysunek pomocniczy do zad 1

Metis: dero czytaj posty

dero2005: Ten rys z 20:03 nie jest do zadania nr 1

Metis: Zadanie 9) dero r=45√2 cm H=90√2 cm

Metis: Jest źle?

Mila: Albo taki rysunek do zadania (1 Dero). α− kąt między przekątną ściany bocznej BCC'B' a ścianą boczną ACC'A' ∡C'AD− kąt między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną.

Metis: A Milu co jest nie tak w moim bo nie widzę błędu. U mnie ten graniastosłup "lezy" na AA'BB'.

dero2005: @Metis Do zadania z geometrii czy stereometrii trzeba by zrobić rysunek, zaznaczyć wielkości, kąty i napisać rozwiązanie a nie podawać fragmentaryczne wyniki

Metis: dero mam wszystko na swoich rysunkach Potwierdź wynik to wstawię rysunek + obliczenia

dero2005: Wyniki z 20:19 OK

dero2005: na rys do zad 1 zaznaczyłeś zły kąt

Mila: Do rysunku ( zielonego) z 20: 23 |AC'|=a√2

	a√3
|C'D|=
	2

	a√3   2
sinα=		=?
	a√2

Mila: Pisz pełne rozwiązania, to skorygujemy ewentualne błędy.

Mila: Co z czworościanem z godziny 18:57?

Metis: Zad 1) Mila Czekałem Milu na odpowiedź Zad 9) http://i.imgur.com/1PxIfW1.png Zad 1) dero Juz poprawiam

dero2005: 10) Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a, a krawędź boczna− 2a. Wyznacz promień kuli wpisanej w ten ostrosłup. rys pomocniczy

Mila: Odp. do zadania 1 z czworościanem.

π
6√3

dero2005: W zad 9 co innego było do policzenia

Metis: Odpowiedź do zadania 1 dero według zapisu Mili 20:41

	√6
sinα=		, stąd:
	4

α≈37^o. Dobrze?

Metis: Wiem dero ale dalej to już ... "z górki"

Metis: Zadane 1) Mila

	Vk
Szukamy		, gdzie
	Vc

V_k to objętość kuli V_c objętość czworościanu.

	a3√2
Vk wyrażamy wzorem:
	12

V_c to szukana objętość kuli. Z rysunku: http://i36.tinypic.com/33bd5ck.png Liczę r. |OG|=r

	h
|GE|=
	2

Gdzie h to wysokość trójkąta równobocznego o boku a. I brakuje Nam odcinka OB

Metis: Przepraszam: Brakuje odcinka |OE|

Metis: |OE| obliczę z podobieństwa trójkątów. Trójkąt SS'E jest podobny do trójkąta OS'E.

	a√6		a√3
h=		, H=
	3		2

Stąd |S'E|:

	a√6		a√3
(		)2+|S'E|2=(		)2
	3		2

2a2		3a2
	+|S'E|2=
3		4

	3a2		2a2
|S'E|2=		−
	4		3

	9a2−8a2
|S'E|2=
	12

	a2
|S'E|2=
	12

	a		a√3
|S'E|=		=
	2√3		6

Metis: Milu możesz zerknąc czy do tej pory jest wszystko korzystam z rysunku : http://i36.tinypic.com/33bd5ck.png

Metis: Oczywiscie |S'E| liczę z tw. Pitagorasa a nie podobieństwa. Z podobieństwa obliczę |OE|

Kacper:

Metis: Co tam Kacper ?

Kacper: Zapisuje

Metis: A może rzucisz okiem na moje wywody? Dobrze liczę r?

Mila: Za bardzo gmatwasz to wszystko. Jak już zrobisz to zadanie, to wypiszę wszystko, co masz wiedzieć o czworościanie foremnym. Może narysuję ten rysunek i objaśnię wszystko. 1) podstawa i wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku a. 2) Spodek wysokości tego ostrosłupa leży w punkcie przecięcia wysokości Δ

	a√3
h=		długość wysokości podstawy.
	2

H− wysokość ostrosłupa F, O punkty styczności kuli ze ścianami

	1
|OE|=		h, |SE|=h
	3

	1
H2+(		h)2=h2
	3

	1
H2=h2−		h2
	9

	8
H2=		h2
	9

	√8		√8		a√3		a√6
H=		h=		*		=
	3		3		2		3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ΔPFS∼SOE

H−r		SE
	=
r		OE

H−r		h
	=		⇔
r		1   h 3

H=4r zapamiętaj tę własność czworościanu foremnego

	3
R=		H− promień kuli opisanej
	4

	1
r=		H
	4

	a√6
r=
	12

========== dalej to już podstawiasz do wzorów r³ licz tak:

	a√6		a√6		a√6
r3=		*		*		=?
	12		12		12

Do Jutra. Dobranoc

dero2005: 11) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS, w którym pole przekroju przechodzącego przez wierzchołek i wysokość podstawy wynosi 12√3. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa jeżeli długość krawędzi podstawy wynosi 6 cm.

dero2005: 12) W stożek o wysokości h wpisano walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem o boku długości a, w ten sposób, że oś obrotu stożka pokrywa się z osią obrotu walca. Znajdź objętość stożka.

dero2005: 13) W graniastosłupie prostym podstawa jest rombem, którego przekątne mają długość 30 i 16 cm. Dłuższa przekątna graniastoslupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45^o. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Metis: Dziękuje Milu za analizę . Dopiero teraz wróciłem do domu − ostatnia próba poloneza, przenalizuje je i w razie wątpliwości będę pytał

Mila:

Metis: Witaj Milu widzę że się pojawiłaś, a mam do Ciebie kilka pytanie. Czy kula która wpisujemy musi mieć punkty styczności wewnątrz ostrosłupa? Z czego to wynika? Reszta dla mnie zrozumiała, a wyliczenie r i podstawienie do wzorku to tylko obliczenia

5-latek: A jak wpisujesz okrag w trojkat to okrag musi mieć punkty styczności z bokami trojkata ?

Metis: Musi

utem: Ma mieć punkty styczności z każdą ścianą.

Mila: Czworościan foremny o krawędzi a:

	1
r=		H−promień kuli wpisanej w czworościan foremny.
	4

	3
R=		H − promień kuli opisanej na czworościanie foremnym
	4

−−−−−−−−−−−−−−−−−r:R=1:3 Wysokości tego ostrosłupa dzielą się w stosunku 1:3. Spróbuj wykazać.

	a√6
H=		, (to wyprowadziłeś)
	3

	1
cosα=		− cos kąta między ścianami ( wyprowadź )
	3

	a3√2
V=		(wyprowadź )
	12

Mila: Zadanie na zastosowanie wiadomości. Łącząc odpowiednio środki krawędzi czworościanu foremnego otrzymamy ośmiościan foremny. Krawędź czworościanu ma długość a. Oblicz objętość ośmiościanu i porównaj ją (ilorazowo) z objętością czworościanu.

Metis: Dziękuje Milu za pomoc. Zabieram się do zadań od dero. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1
V=		Pp*H
	3

	a2√3
Pp=
	4

	a√6
H=
	3

	1		a2√3		a√6		a3√2
V=		*		*		=		.
	3		4		3		12

Metis: Wyprowadzam cos α: W naszym trójkącie:

	h   3
cosα=
	h

h wysokość trójkąta równobocznego.

	a√3
h=
	2

h		a√3
	=
3		6

a√3		2		1
	*		=		.
6		a√3		3

Mila: I po co te rachunki? Masz zapisane :

	h   3		1
cosα=		=		i koniec. h nie zmieni się gdy podstawisz , a pomylić się możesz.
	h		3

Rozwiązuj zadania Dero. Jeśli będziesz chciał pomocy, a nie będzie Dero, to pisz, ale numeruj zadania, aby nie było nieporozumień.

Mila: Z ośmiościanem jutro. Narysuj duży ładny rysunek na kartce.

Metis: Mam nadzieję, że w II etapie nie pojawi sie zadanie ze stereometrii/prawdopodobienstwa , podobnie jak w tamtym roku, ale coś czarno to widzę

Mila: Kiedy masz II etap?

Metis: 31 styczeń Gdzie od piątku rozpoczynam ferie.