Całki riac: Mam obliczyć pole obszaru ograniczonego pętlą (y − 1)² = x²(x−x²). Jak to ugryźć?

Godzio: A umiesz to narysować?

utem: (y − 1)² = x²*(x−x²) (y−1)²≥0⇒x−x²≥0⇔x∊<0,1> y−1=x*√x−x² lub y−1=−x*√x−x² y=1+x*√x−x² lub y=1−x*√x−x² Teraz kombinuj. Masz odpowiedź?

Godzio: Żeby równanie miało sens musimy założyć, że x − x² ≥ 0 ⇒ x(1 − x) ≥ 0 ⇒ x ∊ [0,1] (y − 1)² = x³(1 − x) ⇒ y − 1 = ± √x³(1 − x) ⇒ y = ± √x³(1 − x) + 1 y = √x³ − x⁴ + 1 y = − √x³ − x⁴ + 1 P = 2 * ∫₀¹(√x³ − x⁴ + 1)dx

	x
x√x − x2 = x√1/4 − (x − 1/2)2 =		√1 − (2x − 1)2
	2

	t + 1
2x − 1 = t ⇒ x =
	2

0 → − 1 1 → 1

	t + 1
P = 2 * ∫−11		√1 − t2dt =
	4

	1
=		(∫−11t√1 − t2dt + ∫−11√1 − t2dt)
	2

Wyliczmy te całki osobno. ∫₋₁¹t√1 − t²dt = 0 jako całka z funkcji nieparzystej po symetrycznym przedziale

	t = sinu 0 → 0 dt = cosudu −1 → −π/2
∫−11√1 − t2dt = 2* ∫−10√1 − t2dt =

= 2 * ∫_−π/2⁰√1 − sin²ucosudu =2 * ∫_−π/2⁰cos²udu =

	1		sin2u		π
= 2 * ∫−π/20{1 + cos2u}{2}du = 2 * (		u +		)|−π/20 =
	2		4		2

	π
P =
	4

riac: Dziękuję.