Całki przez części xdxd: Ktoś pomoże z całkami przez części? 1. ∫ (4x²−6)lnx dx 2. ∫ cos²x dx 3. ∫ ln1/x dx 4. ∫ √x lnx dx

cosinusx: 1) ∫(4x²−6)lnxdx= |u=lnx v'=4x²−6 |=

	1		4
|u'=		v=		x3−6x |
	x		3

	4		4
=lnx(		x3−6x)−∫(		x2−6dx +C=
	3		3

	4		4
=lnx(		x3−6x)−		x3+6x+C
	3		9

cosinusx: 2) cos2x=(cosx)²−(sinx)² (cosx)²+(sinx)²=1 cos2x=(cosx)²−(1−(cosx)²) cos2x=2(cosx)²−1

	cosx2x+1
(cosx2)=
	2

	1		1		1
∫(cosx)2dx=		∫cosx2x+1dx=		sin2x+		x+C
	2		4		2

cosinusx: 3) ∫ln¹_xdx= |u=ln¹_x v'=1 |=

	−1
|u'=x*		v=x|
	x2

=xln¹_x+∫1dx+C=xln¹_x+x+C

cosinusx: 4) ∫√xlnxdx= |u=lnx v'=√x |=

	1		2
|u'=		v=		x3/2 |
	x		3

	2		2
=		x3/2lnx−		∫x1/2dx+C=
	3		3

	2		2		2
=		x3/2lnx−		*		x3/2+C=
	3		3		3

	2		4
=		x3/2lnx−		x3/2+C
	3		9

cosinusx: 2) (przez części) ∫(cosx)²dx= |u=cosx v'=cosx|= |u'=−sinx v=sinx| =cosxsinx+∫(sinx)²dx= =cosxsinx+∫(1−cos²x)dx= =cosxsinx+∫1dx−∫(cosx)²dx= =cosxsinx+x−∫(cosx)²dx ∫(cosx)²dx=cosxsinx+x−∫(cosx)²dx 2∫(cosx)²dx=cosxsinx+x

	1
∫(cosx)2dx=		(cosxsinx+x) +C
	2