matematykaszkolna.pl
zbadaj zbieżność całki niewłaściwej Marta: ∞
 √x 
∫
dx
 2+x 
0
4 sty 18:53
cosinusx: Wpierw policzmy sobie całkę nieoznaczoną:
 √x 
∫
=|√x=t, x=t2, dx=2tdt |=
 2+x 
 t t2 t2+2−2 
∫
2tdt=2∫
dt=2∫
dt=
 2+t2 t2+2 t2+2 
 2 
=2∫(1−
)dt=
 t2+2 
 1 
=2(t−2∫
dt)+C=
 t2+2 
 1 
=2t−4∫
dt+C=
 t2+2 
 1 t 
=2t−4*
arctg(
)+C=
 √2 √2 
 t√2 
=2t−2√2arctg(
)+C=
 2 
 √2x 
=2√x−2√2arctg(
)+C
 2 
Przejdźmy do granicy:
 √x 
lim(A−>nieskończoność) [∫
][0,A]=
 2+x 
 √2x 
=lim(A−>nieskończoność) [2√x−2√2arctg(
)][0,A]=
 2 
 √2A √2*0 
=lim(A−>nieskończoność) [2√A−2√2arctg(
)−2√0+2√2arctg(
}]=
 2 2 
 √2A 
=lim(A−>nieskończoność) [2√A−2√2arctg(
)−0]=
 2 
 π 
=[nieskończoność−2√2*
]=nieskończoność −całka rozbieżna
 2 
6 sty 00:35