g.: oblicz granicę funkcji. 1. lim → √x + 3 √x/x + 3 x→∞ --------------- = --------------- = 4³√x + 4 4³√x/x +4 √1 + 3 4 ------------- = ---- = 1/2 4³√1 + 4 8 2. lim → 2x² + 3x - 14 x→ ∞ -------------------------- = dzielę przez x² i wynikiem są 2/5. 5x² - 4x + 3 3. lim → x + ⁵√x⁴ x + ⁵√x⁴/x⁴ x→ ∞ ---------------------- = ------------------------------ x³√x² -4x +3 x³√x²/x² -4x +3 mogę tak podzielić te wyr. podpierwiastkowe?

b.: 1. to nie jest dobrze... takie granicy liczy się dzieląc licznik i mianownik przez największy wyraz z licznika lub mianownika, czyli tutaj: podziel licznik i mianownik przez √x (albo przez ³√x, do wyboru) 2. o właśnie, tu (niby) dobrze, choć patrząc na pozostałe przykłady nie jestem pewien - nie napisałaś szczegółów 3. znowu błąd taki jak w 1. (a może też i 2.) -- musisz podzielić CAŁY licznik i CAŁY mianownik przez odp. wyrażenie (np. tutaj przez x^5/4 albo przez x*x^3/2)

g.: 1. lim → √x + 3 √x / ³√x + 3 / ³√x x→∞ --------------- = ----------------------------- = 4³√x + 4 4³√x / ³√x + 4 / ³√x 3 / ³√x → 0 i 4 / ³√x → 0 czyli będzie: x^1/2-1/3 = x^1/6 ------------------------------- → +∞ 4 2. no dzielę każdy wyraz czyli będzie: 2 + 3/x - 14/x² --------------------- = 2/5 5 - 4/x² + 3/x² 3. lim → x + ⁵√x⁴ x + x^4/5 x + x^4/5 x→ ∞ ---------------------- = --------------------------- = --------------------- = x³√x² -4x +3 x¹ * x^3/2 - 4x + 3 x^5/2 - 4x + 3 x / x^5/2 + x^4/5 / x^5/2 ------------------------------------ = to muszę tak liczyć? .... 1 - 4x / x^5/2 + 3 / x^5/2

b.: 1. tak 2. tak (no prawie, → zamiast = ) 3. możesz tak (podzieliłaś przez wyraz największego rzędu z mianownika), a mogłaś też podzielić przez wyraz największego rzędu z licznika, czyli przez x -- i to tu da nieco prostsze rachunki (zwróć uwagę, że i Twoją metodą już prawie masz wynik: 0 )

g.: chyba nigdy się nie oduczę pisać tych = 3. hmmm, czyli muszę to dalej wyliczać? czy mogę napisać, że te ułamki dążą do 0 a 0/1 to 0?

b.: 3. możesz tak napisać, jeśli już w tej postaci to widzisz

g.: nie widzę... np. liczę licznik: x / x^5/2 = x^1-5/2=x^-3/2 ? + x^4/5 / x^5/2 = x^-17/10 potem mianownik 4 * x^-3/2 + 3 * 1/x^-5/2 ..... coś nie wyjdzie

g.: w ogóle tak patrzę i te pierwiastki to w potęgach będzie: ⁵√x⁴ = x^4/5 ; ³√x² = x^2/3 ....ale i tak nie wychodzi

b.: ale co nie wychodzi? np. x^-3/2 → 0 przy x→∞ (bo wykładnik -3/2 jest ujemny)

g.: aaaa, no to wszystko gra super jeszcze mam taki przykład... lim √5 - 4x √5/x - 4 x → - ∞ --------------- = --------------- = √-4 = √1/4 = 1/2 ? √2-x √2/x - 1 lim 4^x - 20033^x = a tutaj mogę zastosować kryt. Cauchy'ego ? n ->+ ∞

b.: 1. trzeba uważać na subtelne pomyłki -- zobacz, pod pierwiastkami po równości masz liczby ujemne! (gdy x<0) nie możesz dzielić przez √x, tylko przez √-x, bo gdy x->-∞, to można założyć, że x<0 przy okazji, pamiętaj też (przy dzieleniu przez x), że √x²= |x|, a nie x 2. kryt. Cauchy'ego? to o zbieżności szeregów? tu nie ma szeregu...

g.: 1. lim √5 - 4x √5/-x - 4x/(-x) x → - ∞ --------------- = ---------------------- = √4 = 2? √2-x √2/(-x)-x/(-x) 2. jerunie, rzeczywiście... to jak się za to wziąć?...

b.: 1. tak dobrze (brakuje lim przy drugiej równości, ale to drobiazg) 2. może wyłącz przed nawias np. 4^x? (albo to drugie, jak wolisz...)

g.: 1. ok 2... eh... 4^x * (1 - 20033^x / 4^x) = ... to będzie coś z e?

b.: 2. nie, żadnego e... (20033/4)^x -> ∞ gdy x→∞, bo 20033/4>1 itd.

g.: a co z 4^x?

b.: no ono jest w tym ,,itd.'' 4^x -> ∞, a w nawiasie mamy w granicy (1 - ∞) czyli -∞ no to iloczyn dąży do -∞

g.: a to nie jest wyrażenie nieoznaczone? + ∞ -∞ ?

b.: jeśli to różnica to nieoznaczone, ale tu mamy iloczyn ∞*(-∞), taki iloczyn jest -∞

g.: ok, dziękuję za pomoc dobranoc!

Ewa: -x<x+1

Ewa: 5x<4x