Heeelp Kasiaaaa: Dla jakich liczb naturalnych n liczba 14ⁿ–9 jest pierwsza?

M:

Mariusz: Przyjmijmy że n=2k, mamy wówczas 14^2k − 9 = (14^k−3)(14^k+3) aby liczba 14^2k − 9 była pierwsza to któraś z liczb 14^k−3 albo 14^k+3 musiałaby być równa jeden a tak nie jest Zatem zostają do sprawdzenia tylko liczby nieparzyste n = 2k+1 14^2k+1−9 14*14^2k−9 5*14^2k+9*14^2k−9 5*14^2k+9(14^2k − 1) Pokażmy indukcyjnie że 14^2k − 1 jest podzielne przez 5 Dla k = 0 14⁰−1 = 0 5|0 Zakładamy że 5|14^2k−1 dla pewnego k=m ≥ 0 5|14^2m−1 Sprawdzamy czy z założenia indukcyjnego wynika poprawność tezy dla k = m+1 5|14^2m+2−1 5|14²*14^2m − 1 5|196*14^2m − 1 5|196*14^2m −196 − 1+196 5|196*(14^2m − 1) +195 5|196*(14^2m − 1) +5*39 14^2m − 1 jest podzielne przez 5 z założenia indukcyjnego natomiast 5*39 jest iloczynem liczby 5 i liczby całkowitej Dla n parzystych otrzymaliśmy liczbę złożoną a dla n nieparzystych otrzymaliśmy liczbę podzielną przez 5 Jedyną liczbą pierwszą podzielną przez pięć jest liczba 5 a to wystąpi dla n = 1 więc n=1 jest jedynym rozwiązaniem tego zadania