witam całka: Witam, jak się zabrać za takie całki, gdzie nie można rozłożyć mianownika, a jest on wielomianem innym niż stopnia 2 a w liczniku mamy stałą bądź wielomian stopnia 1,2 ? Przykładowo :

	3x−2
∫		dx
	x4−4x2+5

? ?

utem: x⁴−4x²+5=(x²−2)²−4+5=(x²−2)²+1

	3x−2
∫		dx = teraz spróbuj liczyc.
	(x2−2)2+1

całka: Hmm, ok , ale jak policzyć całkę z :

	2
∫		dx
	(x2−2)2+1

całka: No, właściwie

	1
∫		dx
	(x2−2)2+1

całka: Hmm...

Godzio: Masz taki przykład do policzenia czy sam go wymyśliłeś? A może jest to całka oznaczona?

utem: Sama wymyśliłaś tę całkę, czy błędnie przepisałaś?

całka: Mam taki przykład do policzenia Wiesz co? Chyba będzie trzeba rozwiązania w zbiorze liczb zespolonych znaleźć, ale mam problem , bo jak liczę to wychodzą mi 2 a nie 4 ( jest 4 stopnia ) Mógłbyś zaprezentować jak liczyć pierwiastki zespolone z takiego wielomianu? x⁴−4x²+5=0 x²=t Δ=4j² t1=2−j t2=2+1 więc x1=√2−j x2=√2+j ale... zginęły 2 rozwiązania Nie pamiętam za bardzo jak to się robiło, pomożesz?

całka: Kolejną całeczkę mam tego samego typu więc jak to zrozumiem to spróbuję zrobić tamto i zobaczymy czy wiem o co chodzi

Godzio: Sprawdź dokładnie ten przykład. Pierwiastki zespolone też nie są za fajne.

Jack: skoro masz t₁ = 2−j t₂ = 2+j a zrobiles ze x² = t to masz 4 rozwiazania... x² = 2−j lub x² = 2+j x=√2−j lub x= − √2−j lub x = √2+j lub x = −√2+j czyz nie ?

Godzio: Jack to tak nie działa.

utem: Nie , pomyliłam zapisy23:12 x⁴−4x²+5=(x²−2)²+1=(x²−2)²−i²= =(x²−2−i)*(x²−2+i) Teraz już prościej będzie.

całka: Przykład na pewno jest dobrze przepisany :

	3x−2
∫		dx
	x4−4x2+5

Czyli znając pierwiastki zespolone ten wielomian można przedstawić jako ich iloczyn?

Jack: Godzio Jak to tak to nie działa... ; o

utem: Te pierwiastki nie są ładne.

Jack: Nawet wolfram mowi ze sa takie pierwiastki ; d

Godzio: Moim zdaniem powinno się to wyliczać. √2 − j zawiera w sobie dwa pierwiastki. Oznaczmy 2 − j = x² gdzie x = a + jb 2 − j = a² − b² + 2ab * j 2 = a² − b² −1 = 2ab Otrzymujemy stąd: a = − √1 + (√5/2) oraz b = √1 + (√5/2) * (√5 − 2) lub a = √1 + (√5/2) oraz b = − √1 + (√5/2) * (√5 − 2) Zatem x = − √1 + (√5/2) + j√1 + (√5/2) * (√5 − 2) lub x = √1 + (√5/2) − j√1 + (√5/2) * (√5 − 2)

całka: (x²−2)²−i²= =(x²−2−i)*(x²−2+i) nie rozumiem tego przejścia , jak to zauważyłaś? wiem, że jest to poprawne, ale nie za bardzo wiem skąd się to wzięło

Jack: a² − b² = (a−b)(a+b)

całka: Dzięki, teraz już wiadomo No to próbuję liczyć

Jack: Twoim a jest (x² − 2) Za to b i

całka: No nie wiem jak to dalej liczyć Po rozdzieleniu na ułamki proste wychodzą takie dziwne całki. Na przykład :

	32jx−1j
∫		dx .. Nie wiem czy dobrze liczę, ale nawet wolfram podaje
	x2−2−j

jakiś dziwny wynik tej całki..

całka: Popróbuję jeszcze jutro to rozwiązać, ale sądzę, że nie dam rady Biorę się za inne całki ..

wmboczek: A jest jakiś ogólny sposób rozkładu dwukwadratowego na iloczyn dwóch kwadratowych? Bez wchodzenia w zespolone

całka: Dołączam się do pytania Albo jak liczyć te dalsze całki z trgo co podała utem?

ICSP: x⁴ − 4x² + 5 = x⁴ +2√5x² + 5 − (4 + 2√5)x² = (x² + √5)² − (√4 + 2√5x)² = =(x² + √4 + 2√5x + √5)(x² − √4 + 2√5x + √5) Dalej rozkłąd na ułamki proste. Wyniki nie będą piękne, ale jakieś powinny wyjść.

całka: Jak na to wpadłeś? Jest jakaś zasada czy po prostu praktyka robienia całek i spostrzegawczość?

daras: intuicja

całka: Straszne te ułamki wychodzą... Aż dziwne żeby taką całkę dali do liczenia