całka kalkulator: Witam Potrzebuję pomocy z policzeniem całki. Oto ona ¹₃∫(9−x)^3₂

Dawid: Podstawienie t=(9−x)

kalkulator: dzięki nie wpadłem

kalkulator: sorry to jest 9−x² teraz się sprawa komplikuje i nie wiem

Dawid: może przez części: u=(9−x²)^3₂

kalkulator: też nie wychodzi

utem: √(9−x²)³=(9−x²)√(9−x²)

1		1		(9−x2)2
	∫(9−x2)√(9−x2)dx=		∫		dx=
3		3		√9−x2

= [x=3t,dx=3dt]

	(9−9t)2		81*(1−t2)2
=∫		dt=∫		dt=
	√9−9t2		√1−t2

	1−2t2+t4
=27∫		dt=
	√1−t2

dalej współczynniki nieoznaczone. Poradzisz sobie?

kalkulator: nie bardzo

utem: A w ogóle, znasz tę metodę?

kalkulator: pierwszy raz widzę

utem:

	t4−2t2+1
(*) 27*∫		dt=?
	√(1−t2)

Metoda współczynników nieoznaczonych: Przewidujemy, że całka :

	t4−2t2+1		E
(**)∫		dt=(At3+Bt2+Ct+D)*√1−t2+∫		dt
	√(1−t2)		√1−t2

różniczkujemy obie strony:

t4−2t2+1
	=
√(1−t2)

	−t		E
(3At2+2Bt+C)√1−t2+(At3+Bt2+Ct+D)*		+		⇔
	√1−t2		√1−t2

t⁴−2t²+1=(3At²+2Bt+C)*(1−t²)−At⁴−Bt³−Ct²−Dt+E Przekształcamy prawą stronę. t⁴−2t²+1=3At²+2Bt+C−3At⁴−2Bt³−Ct²−At⁴−Bt³−Ct²−Dt+E⇔ porządkujemy prawą stronę t⁴−2t²+1=−4A*t⁴+t³*(−4B)+t²*(3A−2C)+t*(2B−D)+C+E porównujemy wsp.⇔

	1
1) −4A=1⇔A=−
	4

2) −4B=0, B=0

	3		3		5
3) 3A−2C=−2, −		−2C=−2, 2C=2−		, C=
	4		4		8

4)2B−D=0, D=0

	5		3
5) C+E=1, E=1−		, E=
	8		8

Wracamy do (**)

	t4−2t2+1		1		5		3		1
∫		dt=(−		t3+		t)*√1−t2+		∫		dt=
	√(1−t2)		4		8		8		√1−t2

	1		x		5		x		3		x
=(−		*(		)3+		*		)*√1−x29+		arcsin		=
	4		3		8		3		8		3

	x3		5		1		3		x
=(−		+		x)*(		)*√9−x2+		arcsin
	4*27		24		3		8		3

zostało pomnożyć przez 27

	t4−2t2+1
(*) 27*∫		dt=
	√(1−t2)

	x3		45		81		x
=(−		+		x)*√9−x2+		arcsin		+C
	12		24		8		3

==============================