Niech R będzie relacją określoną w X. Zbadaj, czy Bartek: Witam wszystkich. Prosiłbym o pomoc w następującym zadaniu. Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Rozpisałem sobie z definicji kiedy np w a) jest przeciwzwrotna i wybierałem dowolną parę (x,y) należącą do X², ale dowód ani w jedną ani w drugo mi nie wyszedł.. 7. Niech R będzie relacją określoną w X. Zbadaj, czy a) R jest przeciwzwrotna ⇔ Idx ∩ R = ∅ b) R jest antysymetryczna ⇔ R ◯ R⁻¹⊂Idx c) R jest przeciwzwrotna ⇔ R ∩ R⁻¹ = ∅ d) R jest przechodnia ⇔ R ◯ R ⊂ R

Bartek: I jeszcze jedno zadanie, ale tu akurat prosiłbym o sprawdzenie poprawności. Niech relacje R i S będą określone w X. Zbadaj, czy a) jeżeli relacje R i S są zwrotne, to R ∪ S, R ∩ S, R ◯ S, R⁻¹ są zwrotne. b) jeżeli relacje R i S są symetryczne, to R ∪ S, R ∩ S, R ◯ S, R⁻¹ są symetryczne. w a) biorę dowolne x∊X i) xR∪Sx ⇔ (x,x)∊ R∪S ⇔ (x,x) ∊ R ∨ (x,x) ∊ S ⇔ xRx ∨ xSx a to świadczy o zwrotności R∪S i analogicznie dla każdej pozostałej relacji ale tutaj w b) pojawia mi się taka mała wątpliwość, więc może zaczne od niej: ii) biorę dowolne x,y ∊ X takie,że xR∪Sy ⇔ (x,y)∊R∪S ⇔ xRy ∨ xSy ⇒(z symetryczności R i S) yRx ∨ ySx ⇔ (y,x)∊R∪S ⇔ yR∪Sx co świadczy o symetryczności R∪S i pytanie, czy zarówno w a) jak i w b) mogę zrobić coś takiego: xR∪Sx ⇔ (x,x)∊ R∪S i xRy ∨ xSy ⇒(z symetryczności R i S) yRx ∨ ySx ? Chodzi mi o te konkretne przejścia.