matma canon: mam do policzenia ekstrema funkcji: f(x,y)= −x³+3x²y−y⁴

Jack: Pochodna czastkowa... max (x,y) = 27 dla (6,3)

Kacper: Jack weź się za geometrię, a nie materiał ze studiów

Jack: Kacper a skad mialem wiedziec ze to material do studiow : D Po prostu juz gdzies to widzialem...

canon: poczekaj, bo licze, licze i nie wiem czy dobrze a do wyniku mam daleko (P₁)= (0,0) (P₂)= (−20.25, −6,25)

canon: czyli mam źle, próbuje dalej....

Jack: znaczy nie wiem o czym mowisz, daj mi chwilke, to obczaje co to wgl jest...

canon: dzięki pochodna po x = −3x²+6xy pochodna po y= 3x²−4y³

Jack: pochodna z iksa

d
	= −3x2 + 6xy
dx

igrek

d
	= 3x2 − 4y3
dx

−3x² + 6xy = 0 3x² − 4y³ = 0 dodaje stronami 6xy − 4y³ = 0 y(6x − 4y²) = 0 y = 0 lub 6x = 4y²

Jack: tam w drugim przypadku (po igrek) napisalem dx zamiast dy, heh, sorki : D

Kacper: Dobrze zacznijmy od warunku koniecznego

df
	=−3x2+6xy
dx

df
	=3x2−4y3
dy

	df		df
(		=0 ∧		=0 ) ⇔ (x,y)=(0,0) ∨ (x,y)=(6,3)
	dx		dy

Mamy zatem dwa punkty stacjonarne

Jack: czyli otrzymujesz punkt P₁ (0,0) P₂ (o kurcze ...cos chyba zle policzylem, wyszlo mi znowu 0,0

Jack: ok, pan kacper ma rację P₁ (0,0) P₂ (6,3) to teraz trza pochodne znowu (przynajmniej tak w internecie jest napisane)

Jerzy: trzeba

Jack: no trza trza : D w sensie, że trzeba...

Jerzy: nie to miałem na myśli , tylko to,że trzeba je policzyć

Jack: canon rozumiesz skad wyszly takie punkty?

nikon: rozumiem

canon: tak tak, rozumiem tylko mi nie wyszło 6,3

Jack:

d2
	(w sensie pochodna z pochodnej z iksa)
dx2

Z góry sory za zapis ale nie mialem tego jeszcze, w liceum tego ponoc nie ma, jak to Kacper napisal : D czyli iks z iksa = −6x + 6y iks z igreka = 6x igrek z iksa = 6x igrek z igreka = −12y²

canon: dobra dzięki Wam, poprostu chciałem sprawdzić tak, to materiał ze studiów

Jerzy: po: x i po: y f_xx f_xy f_yx f_yy

Jack: to zaczne od tego na czym skonczylem (post 14;58) y = 0 lub 6x = 4y² 6x = 4y² 3x = 2y²

	2
x =		y2
	3

podstawiam do drugiego rownania czyli 3x² − 4y³ = 0

	2
3(		y2)2 − 4y3 = 0
	3

	4
3(		y4) − 4y3 = 0
	9

4
	y4 − 4y3 = 0 / *3
3

4y⁴ − 12y³ = 0 4y³(y−3) = 0 y = 0 lub y=3 z igrek = 3

	2		2
x=		y2 =		*9 = 6
	3		3

Czyli punkty (3,6) (0,0)

Jack: P(6,3) ludu...myle iks z igrek...

Jerzy: (6,3)

Jack: Teraz jakis wyznacznik trzeba ulozyc...co to jest? xd

Jerzy: taki: f_xx f_xy f_yx f_yy

Jack: dobra juz wiem : D

Jack: tak tak, ale nie wiedzialem jakie dzialania trza wykonac, teraz juz wiem mnozenie i odejmowanie btw...dobrze te pochodne policzylem ? −6x + 6y 6x 6x −12y²

Jack: Punkt (0,0) 0 0 0 0 0*0 − 0*0 = 0 (przypadek nierozstrzygniety)

wykop.pl: 6y² powinno być tam, gdzie napisałeś −12y². Oprócz tego dobrze.

canon: dlaczego 6y² ?

Jack: P(6,3) −18 36 36 −108 (−108) *(−18) − 36(−108) = 1944 + 3888 = 5832 ekstremum istnieje w P(6,3) maxymalne chyba...tak? bo w lewym gornym rogu (−18) ?

canon: −18 36 36 54

canon: zle to policzyłes

Jerzy: tak ... maksimum

Jack: dlaczego pochodna po igrek z 3x²−4y³ jest 6y² ?

Jerzy: f_yy = −12y²

Jack: no wlasnie...

canon: własnie , powinno być −12y²

canon: ale i tak sie nie zgadzA...

Jerzy: tylko wyznacznik żle policzony

canon: bo powinno wyjść 27

canon: chyba ze wcale nie powinno wyjśc 27, bo i tak wynik jest dodatni

Jerzy: 648 ... czyli maksimum

canon: tak

Jack: to juz nie rozumiem...moglby ktos napisac od momentu gdzie jest zle ?

Jerzy: −18*(−108) − 36*36 = 648 > 0 (ekstremum) f_xx = − 18 < 0 ( maksimum)

Jack: Aaaa no tak, tam skopalem... jak rozumiem f_xx > 0 −> minimum a dla 0 ? a no tak...przeciez wszystko * 0 = 0 ale moze sie zdarzyc np. jakbysmy mieli 0 3 −12 0 wtedy 0 − (−36) = 36 >0 ekstremum f_xx = 0 jaki wniosek?

Jack: ponawiam : D