Wykaż Dżin: Wykaż, że jeśli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi oraz a+b=1, to spełniona jest

	1
nierówność a4+b4≥
	8

Saizou : z nierówność o średnich mamy że

	a4+b4		a+b		1
(		)1/4≥		=		/4
	2		2		2

a4+b4		1
	≥		/*2
2		16

	1
a4+b4≥
	8

Dżin: Dzięki Saizou, ale nierówności o średnich w liceum nie miałem i nie będę mieć, więc poproszę o prostsze rozwiązanie

Kacper: a=1−b a⁴+b⁴=2b⁴−4b³+6b²−4b+1 Niech f(b)=2b⁴−4b³+6b²−4b+1 Szukamy ekstremów globalnych funkcji f. f'(b)=8 b³−12 b²+12 b−4

	1
f'(b)=0 ⇔ b=
	2

Analizując pierwszą i drugą pochodną dochodzimy do wniosku, że funkcja f osiąga minimum dla

	1		1		1
b=		równe		, zatem a4+b4≥		.
	2		8		8

Proszę inne rozwiązanie, ale czy łatwiejsze?

Dżin: haha, pochodna to ostatnia rzecz którą bym stosował jakbym miał takie zadanie na maturze ale dział w którym jest to zadanie to "stosowanie wzorów skróconego mnożenia"

Jack: no i prawidlowo ja bym probowal raczej (a² +b²)² − 2a²b² wiedzac ze a+b = 1 (a+b)² = 1 = a² + 2ab + b²

Dżin: Liczę, liczę i nie mogę się doliczyć, jednak pozostanę przy pochodnych...

Jack: co tak szybko sie poddales ; D to ze ja tez tego nie umiem... to nic xd

Dżin: nie poddałem się, porobię mniej "ambitne" zadania i spróbuje podejść jeszcze raz do tego zadania, jeszcze wrócę z rozwiązaniem

Kacper: Jak nie wymyślicie w ciągu godziny, to podam jeszcze 2 inne rozwiązania

Jack: pochodna czy srednia jakas tam to dla mnie takie srednie rozwiazania... dwumian newtona tutaj tez wg mnie srednio pasi

Dżin: (a²−b²)²≥0 a⁴+b⁴≥2a²b²

	1		1
(a−b)2≥0 → (a+b)2≥4ab →		≥ab →		≥2a2b2
	4		8

	1
a4+b4≥		≥2a2b2
	8

Jack: nwm czy to cos udowadnia? ;x

Kacper: Z faktu, że a>b i c>b nie wynika, że a>c

Dżin: Dobra Kacper, wrzucaj te rozwiązania

Jack: nie ma xd

zeesp: a+b=1 a⁴+b⁴=(a²+b²)²−2(ab)² =((a+b)²−2ab)²−2(ab)² =(1−2ab)²−2(ab)² =1−4ab+4(ab)²−2(ab)² =1−4ab+2(ab)² =2(ab)²−4ab+1

	1
=2[(ab)2−2ab+		]
	2

	1
=2[(ab)2−2ab+1−1+		]
	2

	1
=2[(ab−1)2−		]
	2

Wniosek a⁴+b⁴ jest najmniejsze gdy (ab−1)² jest najmniejsze 1. Jeżeli a=0 lub b=0 (oraz jak wiemy a+b=1) to b=1 lub a=1, w każdym razie a⁴+b⁴=1 i nierównosc jest ok 2. Jeżeli a>0 i b>0 to a*b<1 (żeby a+b=1) więc ab−1<0 Więc (ab−1)² najmniejsze jeżeli ab−1 największe

	1
a+b=1 więc b=1−a wiec ab−1=a(1−a)−1=−a2+a−1 ma wartość największą dla a=
	2

	1
wtedy także b=
	2

	1		3		9
w konsekwencji a*b=		oraz (ab−1)2=(		)2=
	4		4		16

	1		9		1		9		8		1		1
2[(ab−1)2−		]=2(		−		)=2(		−		)=2*(		)=
	2		16		2		16		16		16		8

	1
i widać, że a4+b2=
	8

I jak pokazaliśmy wyżej gorzej już nie będzie

zeesp: Wygląda strasznie...i dośc długo...ale starałem się jak najabrdziej elementarnie

Jack: ja doszedlem do tego msca : 2(ab)2−4ab+1

Jack: aczkolwiek srednie uzasadnienie : D

zeesp: Też bym to zrobił inaczej, ale wychodząc z zalożenia, że ktoś nie ma żadnych narzędzi to tu nic sie nie dzieje

Dżin: zeesp dzięki, ja bym na to nie wpadł Jack według Ciebie wszystko jest średnie

Jack: bo ja oczekuje wiesz, prostego rozwiazania ze pokazesz typu (a−b)² ≥ 0 i to dla mnie jest dowod

Dżin: Ale to takie 2/10 Ciekawe jak zrobi Kacper..

Saizou : Tak jak moja odpowiedź

Jack: to o srednich to juz wgl.. : D

Benny: @Kacper Ty miales nierownosci miedzy srednimi w liceum?

Jack: niektorzy juz calki w liceum liczyli...

Dżin: Jack Rachunek różniczkowy jest w programie

Jack: rachunek rozniczkowy to ja mialem...i skonczylo sie na pochodnym

Jack: pochodnych* a calek juz sie nie rusza

bezendu: Po co Ci całki w liceum ? Będziesz liczyć pole wykresu, pomiędzy funkcjami, liczyć objętość brył w układzie 3 współrzędnych ? Nawet nie znasz definicji całki więc nie gorączkuj się tak, nauczysz się w swoim czasie.

Jack: definicji nie znam, ale podstawowe wzory juz tak : D

bezendu: No i co z tego, że znasz wzory jak nie wiesz co liczysz... Bez komentarza... Czyli tylko wykuć wzory, a nie wiedzieć co się liczy

Jack: jak musze policzyc pole np. w paraboli, to licze calke, i tyle

bezendu: Pole w paraboli, to ja nawet tego nie potrafię Co innego policzyć pole zawarte pomiędzy parabolą a jakąś wykresem jakieś funkcji. I właśnie pokazałeś, że nie wiesz co to jest całka i do czego służy K.O

Dżin: bezendu rachunek różniczkowy na poziomie licealnym to przeważnie(bądź tylko) zadania optymalizacyjne

Jack: mam na mysli takie cos (pole zaznaczone czerwonymi kreskami)... zawsze mam tak, ze moje slowa nie wyrazaja tego co mysle ; )

bezendu: Więc własnie nie wiem po co mu teraz całki skoro w liceum jest tyle fajnego materiału do nauki. A tym bardziej wątpię żeby w lo liczyło się pole ograniczone krzywymi

Jack: "fajny materiał" hmm, jestem bardzo ciekaw, co tam jest fajnego

Dżin: Matematyka sama w sobie jest fajna

Jack: najtrudniejsze dzialania to dodawanie i odejmowanie 8+5 zawsze sprawdzam na kalkulatorze...

bezendu: Ehh Ty "geniuszu'' polecam Ci http://users.v-lo.krakow.pl/~climek/ebooki/pompe.pdf nie tkniesz ani jednego.

Jack: planimetria , trygonometria i ogolnie bryly to temat ktorego najbardziej nie lubie... a co tu robie ? na tym forum 99% zadan ktore dostaje to jakies trojkaty do obliczenia...otwieram ten link i co? kolejne trojkaty... ehhh

bezendu: Kolejne trójkąty, ale nie udowodnisz żadnego zadania w tym pliku, chyba, że znajdziesz gotowca na necie

Jack: twierdzenie ptolemeusza?!

Jack: challenge accepted... chociaz jedno udowodnie !

Dżin: Chłopaki.. nie róbcie mi tutaj offtopa bo Kacper się wystraszy, i co? nie będzie jego rozwiązań

Jack: lujowe to zadania w sensie nietypowe : D

zombi: Akurat 1. z Pompe jest banalne XD tak jak nienawidzę plani to pierwsze bym zrobił

Eta: a>0, b>0 i a+b=1 to ab∊(0,1) a+b=1 /² ⇔ a²+b²=1−2ab i a⁴+b⁴ = (a²+b²)²−2a²b² = (1−2ab)²−2a²b²= 2a²b²−4ab+1

	1		7
to a4+b4≥		⇔ 2a2b2−4ab+		≥0 Δ= 9
	8		8

	4+3		4−3		1		1
ab=		>1 −−− odrzucamy lub ab=		=		⇔ 2a2b2=
	4		4		4		8

ze znanej nierówności a⁴+b⁴≥2a²b²

	1
a4+b4≥
	8

c.n.u

Dżin: Dzięki Eta!

Jack: |PB| = √a²+b² |RQ| = √a²+b²

Jack: i co, pierwsze zrobilem !

Jack: wszystkie katy proste powiedzialy co mamy robic ; D i ze to jest kwadrat...

Jack: aczkolwiek nadal nie wiem co to jest rzut prostokatny...i czy to ma znaczenie tutaj : D

Benny: @bezendu widzisz, ja jeszcze całek nie miałem, a w liceum już mają

Jack: nie mamy wlasnie, Benny...

Jack: tylko gdybym trzymal poziom tego co mamy, to bym nie rozwiazal najprostszych nierownosci... : D sam musze sie "douczac"

Benny: Ja na Twoim miejscu też bym się douczał, ale bez sensu całek czy równań różniczkowych. Porób sobie jakieś OMG lub jeśli jesteś zdolny to OM

Jack: @ Dżin ewentualnie

	1
a4 + b4 ≥
	8

zaczne juz od momentu

	1
2a2b2 − 4ab + 1 ≥
	8

2a²b² − 4ab + 1 = (√2ab − √2)² − √2 + 1

	−7
(√2ab − √2)2 ≥		+ √2
	8

obustronny pierwiastek √2ab − √2 ≥ (√⁻⁷₈ + √2) <−−ten warunek odpadnie potem... lub − √2ab + √2≤ (√⁻⁷₈ + √2) / *(−1) √2ab − √2 ≥ (√⁻⁷₈ + √2) b = 1− a √2a(1−a) − √2 ≥(√⁻⁷₈ + √2) liczymy wierzcholek, bo tam jest minimum . . . za duzo pisania... po porownaniu, na koncu wyjdzie √2 < 4 c.n.u....

zombi: Rób zadania konkursowe, pomagają rozwijać myślenie. Prawda jest taka, że zadania maturalne to w 95% schematy. System edukacji zapomina o tym, co w matematyce najważniejsze, myśleniu!

Jack: oczywiscie tyle rownan bez sensu wykonywac xd @Benny Co to OMG / OM ?

Jack: no wlasnie ja wgl nie mysle ; D

zombi: Olimpiada matematyczna gimnazjalistów (którą zlikwidowali) oraz Olimpiada matematyczna dla uczniów szkół średnich.

Benny: https://www.omg.edu.pl/uploads/attachments/1etap15.pdf OMG z tego roku http://om.edu.pl/sites/default/files/zadania/om/om67_1.pdf OM z tego roku

Jack: zlikwidowali? ; o

Jack: sugerujesz, ze jestem az tak slaby, ze tylko poziom gimnazjum bd umial zrobic? w klasie maturalnej...

zombi: Była z tym sprawa związana, że MEN zlikwidował OMG, z niewiadomych albo wiadomych przyczyn. Ale najwidoczniej wrócili do niej.

zombi: Uwierz mi, że jeśli robiłeś jedynie zadania maturalne to nie tkniesz 80% zadań z gimnazjalnej

Benny: Nic nie sugeruje. Nie wiem jaki jest Twój poziom.

Jack: to wam powiem − > tak niski ze jak sie poloze na podlodze to moj poziom przebija podloge

Jack: nie ma ktos zadan z funkcja wykladnicza/logarytmami do sprawdzianu bym sie pouczyl

Dżin: Znaleźć wszystkie rzeczywiste wartości a, dla których pierwiastki równania: log₂(x+3)−2log₄x=a należą do przedziału (3;4) Działaj!

Jack:

	log4 (x+3)
log2 (x+3) =		= 2 log4 (x+3) = log4 (x+3)2
	log4 2

log₄ (x+3)² − log₄ x² = a

	(x+3)2
log4		= a
	x2

Benny:

	1
Zapamiętaj, że logabc=		logac
	b

Jack:

	(x+3)
log4 (		)2 = a
	x

	(x+3)
2log4		= a
	x

	(x+3)		a
log4		=
	x		2

	3
4a2 = 1 +
	x

	3
2a = 1 +
	x

Jack: @ Benny, co to za wlasnosc ? ; o

Jack: dalej za bardzo nwm jak to zrobic : D

Dżin: Uzupełnię wypowiedź Bennego:

	n
logambn=		logab
	m

Jack: ciekawe, a przyda mi sie tu ?

Eta:

Dżin: Tego to ja nie wiem

Benny: Łatwo ją wyprowadzić.

	logac		1
logabc=		=		logac
	logaab		b

Jack: wiecej jak to ze

	3
2a = 1 +
	x

nie wymysle...nwm jak uwzglednic ten przedzial (3;4)

Eta: @ Benny widzę ,że nauka nie poszła na marne

Benny: Jasne, że nie, tylko to ni jak mi się teraz przyda do egzaminu z logiki

Eta: Dasz radę i z logiką

Jack: a mi to nikt nie pomoze : D

Godzio: Już jesteś na mecie,

	3
2a = 1 +		⇒ x = ... ∊ (3,4)
	x

Mila: Benny, czytaj teorię, wykłady − wtedy zrozumiesz. Analizuj przykłady z ćwiczeń.

Jack:

	3
x =
	2a −1

... (tak wiem , jestem debilem)

Dżin: Jack mam jeszcze jedno zadanie dla Ciebie, możesz zrobić po śniadaniu Rozwiąż równanie:

	1		1		1		n
log2x+(log4x+		log8x+		log16x+...+		log2n+1x)=2n−
	2		3		n		n+1

x∊R n∊N₊

Benny: Z tymi wykładami to nie byłym taki pewien. Większość z tego co mam napisane to nie wiadomo o chodzi, nie tylko w moim przypadku. Przykłady z ćwiczeń to nawet nie ma o czym mówić, jedyna nadzieja pozostaje w książkach

Jack:

3		3
	> 3 ⋀		< 4
2a −1		2a −1

Jack: z pierwszego a ∊ (0;1) z drugiego chyba nie dam rady

	7
mam ze a = 0 lub 2a =		...
	4

paraboli z tego nie narysuje : D

Jack: Any ideas?

Godzio:

3
	< 4 / * (2a − 1)2 i niech 2a − 1 = t > − 1
2a − 1

3t < 4t² 4t² − 3t > 0 t(4t − 3) > 0

	3
t ∊ (−∞,0) U (		, ∞)
	4

2^a − 1 < 0 ⇒ 2^a < 1 ⇒ a < 0

	3		7		7
2a − 1 >		⇒ 2a >		⇒ a > log2
	4		4		4

	7
a ∊ (−∞,0) U (		, ∞)
	4

Jack: Dlaczego 1) t > − 1

	7
2) log2		= 7/4 ?
	4

Jack: Tak wgl to dzieki za pomoc

Godzio: 2^a > 0 to 2^a − 1 > −1

	7
2a >
	4

	7
A		= 2log2(7/4)
	4

Jack: Hmm nwm jakndossedles do tego zapisu no ale niecj bedzie... Co ciekawe a nalezy do zbioru pustego...

Godzio: Pytaj, po to tu jestem, żeby wytłumaczyć W między czasie odrzuciliśmy a = 0, a to jest z pewnością rozwiązaniem

Godzio: A rozwiązanie to:

	7
a ∊ (log2		,1) U { 0 }
	4

Jack: Nie rozumiem jak z

	7
a>log2		wyszlo 7/4
	4

Czyli przedostatnia i ostatnia linijka postj 00:30

Godzio:

	7		7
Aaa, moje przeoczenie, oczywiście powinno być log2		, a nie
	4		4

Jack: I dlaczego 0 pasuje skoro zbiór obustronnie otwarty

Jack: Aa...no dobra to teraz wszystko jasne

Jack: Oprpcz tego zera

Jack: Ja ide spac... Dziekuje za pomoc i dobranoc

Godzio: Dzieląc przez 2^a − 1 wykluczasz a = 0, więc dla niego osobno trzeba sprawdzić co się dzieje.

	3
2a = 1 +		i a = 0
	x

	3
1 = 1 +
	x

3
	= 0, a to nie ma rozwiązań (wcześniej się coś pomyliłem, późna pora )
x

Godzio: Dobranoc

Metis:

	1		1		1		n
log2x+(log4x+		log8x+		log16x+...+		log2n+1x)=2n−
	2		3		n		n+1

	1		1		1
log4x+		log8x+		log16x+...+		log2n+1x
	2		3		n

log2x		1		log2x		1		log2x
	+		*		+		*		+...=
log24		2		log28		3		log216

1		log2x
	*
n		log22n+1

log2x		log2x		log2x		log2x
	+		+		+...+
2		6		12		n2+n

Jutro reszta

Kacper: Ale śmietnik (Jadę na zakupy i rozwiązania podam jak wrócę) Benny − nie miałem nierówności Cauchy'ego w LO, ale na studiach pisałem magisterkę o tym Poza tym zadanie z logarytmem nie pójdzie bez znajomości pewnego twierdzenia. Znam książkę, z której to zadanie wzięto. Zapewne autor sam nie umie go rozwiązać, ale na szczęście tam jest pełne rozwiązanie

Benny: Kurcze prawie mi wyszło Dostałem 2^{n(2n+1)/(n+1)}=x^(2n+1)/(n+1) chyba, że sobie spierwiastkuje i dostanę x=2ⁿ lub jest błąd i x=2

Jack: http://www.wolframalpha.com/input/?i=log_2+x+%2B+1%2F2log_2+x+%2B+1%2F6log_2x+%2B+...+%2B+1%2F%28n%28n%2B1%29%29+log_2+x+%3D+2n+-+%28n%2F%28n%2B1%29%29 pozdro 600

Lorak: wolfram może nie zrozumieć ' + ... + '

Jack: a tak na serio to banał takie zadanie juz poczatku nie bd przepisywac...jestem zbyt leniwy : D wiec mamy

	1		1		1		n
log2 x(1 +		+		+ ... +		) = 2n −
	2		6		n(n+1)		n+1

	1		n
log2x (1 −		) = 2n −
	n+1		n+1

	1		n
log2 x − log2x *		= 2n −		/ * (n+1)
	n+1		n+1

(n+1) log₂x − log₂ x = 2n(n+1) − n log₂x (n+1 − 1) = 2n² + n log₂ x*n = 2n² + n . . .

	22n2+n
x=
	n

hmm, tu chyba utknalem : D

Benny: Źle od początku undefined

Jack: co jest niby zle ? ; d

Benny: Jak wyciągnąłeś sobie log₂x skoro wszędzie jest inna podstawa?

Jack: oj benny, wszedzie jest ta sama....

Benny: No chyba, że w pamięci sobie wszędzie zmieniłeś, ale i tak nadal źle.

Jack: No jak majster no...paczaj

	1		1		1		n
log2x+(log4 x +		log8x+		log16x+... +		log2n+1x)=2n −
	2		3		n		n+1

	1		1		1		1		n
log2x+		log2 x+		log2 x+		log2x +...+		log2n+1x=2n −
	2		6		12		n		n+1

log₂x( ...

Jack: Wszystko sie zgadza...nwm w czym masz problem : D

Benny:

	1
I mówisz, że suma 1+		+... jest równa 1−coś?
	2

Dawid: Kto szuka problemu ten go znajdzie

Jack: oj Benny, kto Cie matmy uczył to jest typowy ciąg nietypowy ahahah, zapomnialem dodac jeden na koncu , faktycznie tam lekko skopalem a co do tego ciagu

1		1		1		1
	+		+		+		+ ... =
2		6		12		20

	1		1		1		1
=		+		+		+		+ ... =
	1*2		2*3		3*4		4*5

	1		1		1		1		1		1		1
= (1−		) + (		−		) + (		−		) + (		−		) + ...
	2		2		3		3		4		4		5

	1
= 1 −
	n+1

Benny: Specjalnie log₂x jest przed nawiasem, aby coś zauważyć

Benny: @Jack coś sugerujesz?

Jack: sugeruje ze sugerujesz ze sie myle, kiedy mam racje

Metis: Mój post jest 1:35 jest ? Pisałem to w nocy

Jack:

Metis: Benny , Kacper potwierdźcie

Jack: co do tamtego mojego bledu tak powinno byc...

	1		n
log2x + log2x (1−		) = 2n−
	n+1		n+1

Qulka: zgadzam się z Jackiem

Metis:

Qulka: aaa i obaj macie to samo jakby nie było widać ..bo się chyba pogubiłam o co kto pytał

Jack: no tak, tylko ja rozwinalem wypowiedz Metis

Qulka: aa bo widziałam ten niżej i myślałam że liczyłeś oddzielnie tak to jest jak post ma kilka wątków

Jack: to teraz niech ktos moj post rozwinie

	1		n
log2x(2 −		) = 2n −
	n+1		n+1

Benny: No zwykła równość logarytmiczna.

Qulka: x=2ⁿ

Metis:

	1
Skąd Ci się wzieło to 2−
	n+1

Dżin:

	1		1
log2x+log2x(1−		)=log2x[1+(1−		)]
	n+1		n+1

Jack: @Metis − log₂x przed nawias

Jack: @Qulka Moglabys rozpisac : D

Dżin:

	2n+1		n(2n+1)
log2x*		=
	n+1		n+1

log₂x=n x=2ⁿ

Jack: moge tak po prostu skrocic? ; o

Jack: a, no tak, to mnozenie...to fajno ; D x = 2ⁿ wiec jednak to zadanko bylo do ogarniecia

Dżin: n≠−1

Jack: w poleceniu bylo ze "n" ∊ N⁺

Dżin: nie znasz się na żartach...

Jack: Niestety nadal nie rozumiem co miał na myśli [Benny]...dwa razy mowil ze mam zle

Kacper: Ok to czas na zadanko:

	1
x+y=1 ⇒ x4+y4≥
	8

Rozwiązanie (nie moje − zapożyczone) Lemat: Prawdziwa jest nierówność: (a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)² (*) (dowód zostawiam wam, bo jest prosty)

	1
Aby dowieść nierówności x4+y4≥		wystarczy pokazać, że:
	8

	(x+y)4
x4+y4≥		⇔ 8(x4+y4)≥(x+y)4
	8

Korzystamy z lematu z danymi a=1, b=1, c=x, d=y 8(x⁴+y⁴)=4(1+1)(x⁴+y⁴)≥(*)≥4(x²+y²)²=(1+1)(x²+y²)(1+1)(x²+y²)≥(*) ≥(x+y)²(x+y²)=(x+y)⁴ c.k.d

Dżin: Dzięki Kacper!

Benny: @Jack cały czas chodziło mi o tą 1, nie powiesz chyba, że miałeś dobry wynik.

Kacper: Jeszcze mam 2 rozwiązania, ale idę po drzewo teraz.

Kacper: Dżin jesteś on czy ona?

Dżin: Dżin kobietą być nie może.

Kacper: Nigdy nie spotkałem się z faktem, że dżin musi być mężczyzną

Jack: @Benny no dobra... niech Ci bedzie : D

Dżin: Kacper gdzie studiujesz?

Kacper: Dzin ja trochę starszy jestem i uczę w szkole.

Dżin: Aha.

Jack: Aha. <−− kropka nienawiści

Kacper: Nienawiści? Dlaczego?

Dżin: Heh, właśnie też nie wiem

PW: Mniej skomplikowana wersja dowodu, nie wymagająca znajomości lematu przytoczonego przez Kacpra: Z faktu, że dla dowolnych u, v (u − v)² ≥ 0 wynika u² + v² ≥ 2uv 2u² + 2v² ≥ u² + v² + 2uv (1) 2(u² + v²) ≥ (u + v)². Po podstawieniu u = x² i v = y² dostajemy

	(x + y)2
(2) 2(x4 + y4) ≥ (x2 + y2)2 ≥ (		)2,
	2

przy czym ostatnia nierówność jest skutkiem ponownego zastosowania (1) ze zmienionymi symbolami. Z (2) wynika

	(x+y)4
x4 + y4 ≥		,
	8

co oznacza że dla x + y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

	1
x4 + y4 ≥		.
	8

Jak widać nierówność nie wymaga założenia x, y > 0 ani x + y = 1, wystarcza założenie x + y ≥ 1.

Kacper: PW pięknie rzeczywiście uproszczona wersja

Dżin: Dzięki PW