Oblicz wartość wyrażenia Dżin: Oblicz wartość wyrażenia xy (bez rozwiązywania układu równań), gdy: x+y=7 i x³−y³=37

Kacper: Wzory skróconego mnożenia.

Dżin: Wiem, ale ja dochodzę do postaci −4t³+441t²−14406t+116280=0 gdzie t=xy I chciałbym wiedzieć czy jest metoda która nie prowadzi do takiego równania, tylko do prostszej postaci?

Kacper: Zapisz x³−y³ w inny sposób.

Dżin: x³−y³=(x−y)((x+y)²−xy) i (x−y)²=49−4xy (x−y)²((x+y)²−xy)²=37² (49−4xy)(49−xy)²=37² podstawiam zmienną "t" i wychodzi tak jak wyżej Jak mógłbym zapisać w inny sposób x³−y³?

henrys: taki manewr w liczbach całkowitych i jakieś rozwiązanie jest 37=(x−y)((x+y)²−xy)=(x−y)(49−xy) x−y=1 i 49−xy=37 wtedy xy=12 x=4 y=3 sprawdzam 3+4=7 64−27=37

Jack: (x−y)(x²+xy+y²) = 37 (x−y)(x²+y²+xy) = 37 (x−y)((x+y)² − xy) = 37 (x−y)(49 − xy) = 37

Jack: @henrys skad x−y=1?

henrys: 37 jest liczbą pierwszą

Jack: a no tak... dobra no ale to mamy albo x−y = 1 albo x− y = 37 wtedy dla x − y = 1 49 − xy = 37 xy = 12 dla x−y = 37 49 − xy = 1 xy = 48 a dobra nie wazne juz

Dżin: Dzięki henrys! o tym że 37 jest liczbą pierwszą to nie pomyślałem

Mila: x+y=7 x³−y³=37 −−−−−−−−−−−−−−−−−− (x−y)*(x²+xy+y²)=37⇔ x−y=1 i (x²+xy+y²=37) [(x+y)²−xy=37 49−xy=37 49−37=xy xy=12 ========

Kacper: Nigdzie nie ma podane, że x i y są całkowite.

henrys: ale przecież nikt mi nie zabroni szukać rozwiązania w całkowitych, tym bardziej, że takie znalazłem

Mila: Pewnie podane w treści, że chodzi o całkowite.

Dżin: w treści zadania nie ma podane, aby wyznaczyć całkowite wartości x i y, jest tylko podane aby wyznaczyć wartość wyrażenia xy

Dżin: a poza tym, układ równań dwóch równań i dwóch niewiadomych które są w nieparzystej potędze, może dawać co najwyżej jedną parę rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych?

henrys: nie ale ten układ sprowadza się do równania (7−y)³−y³−37=0 Niech f(y)=(7−y)³−y³−37 f'(y)=−3(7−y)²−3y²=−3(49−14y+2y²)<0 dla każdego y bo 2y⁻14y+49>0 Δ=196−392<0 wniosek: f jest funkcją ściśle monotoniczną, zatem posiada tylko jedno miejsce zerowe

Dżin: Dzięki henrys!