Wyznacz całki nieoznaczone f. trygonometrycznych Kaemteka:

	dx		dx		(1−cos 2x)2 dx
d) ∫		, e) ∫		, f) ∫		,
	1+3cos x		sinx (cosx)3		(1+cos 2x)3

	dx		dx
g) ∫		, h) ∫
	1+(sin x)2		5−4sin x +cosx

Byłabym bardzo wdzięczna za choć naprowadzenie, przekształcenie do postaci, w której podstawienie typu t=sin x czy cos x czy tg x itd. ma sens.

Godzio: e) Pomnóż licznik i mianownik przez sinx, następnie sin²x = 1 − cos²x i podstaw cosx = t

	−dt
Mamy wtedy: ∫		= ...
	(1 − t2)t3

1		1 − t2 + t2		1		1
	=		=		+		=
(1 − t2)t3		(1 − t2)t3		t3		(1 − t2)t

	1		1 − t2 + t2		1		1		t
=		+		=		+		+
	t3		(1 − t2)t		t3		t		1 − t2

Ostatni człon przed podstawienie 1 − t² = u f) 1 − cos2x = 1 − (1 − 2sin²x) = 2sin²x 1 + cos2x = 1 + 2cos²x − 1 = 2cos²x

	4sin4x		sin4x
... =		=
	8cos6x		2cos6x

Do d),g) i h) od razu bym robił podstawienie uniwersalne. W f) w sumie też, tgx = t ⇒ cos2x = ...

Jerzy: całkę e) można policzyc nieco prościej:

	sin2x + cos2x		sinx		1
= ∫		dx = ∫		dx + ∫		dx =
	sinxcos3x		cos3x		sinxcosx

	tgx		1
= ∫		+ 2∫		dx
	cos2x		sin2x

Jerzy: f) .. .dalej juz prosto:

	1		(tgx)4		1
=		∫		dx = .... podstawienie: tgx = t ,		dx = dt ....
	2		cos2x		cos2x

	1
=		∫t4dt
	2