indukcja matematyczna ilona: Udowodnij, że 10ⁿ−(−1)ⁿ jest podzielne przez 11. Czy ktoś mógłby mi z tym pomóc? Nie potrafię przeprowadzić dowodu indukcyjnego. Byłabym bardzo wdzięczna

zeesp: n=1 10ⁿ−(−1)ⁿ=11 okk Indukcja 10ⁿ⁺¹−(−1)ⁿ⁺¹=10*10ⁿ−(−1)^m(−1)=10*10ⁿ+(−1)ⁿ=10*10ⁿ−10(−1)ⁿ+11*(−1)ⁿ =10(10ⁿ−(−1)ⁿ)+11*(−1)ⁿ z zalożenia indukcyjnego 10ⁿ−(−1)ⁿ=11k dla pewnego k Koniec

sushi_gg6397228: w ktorym miejscu stoisz ?

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/1116.html

Janek191: 1) n = 1 10¹ − (−1)¹ = 10 + 1 = 11 = 11*1 ok 2) Zakładam,że dla n jest 10ⁿ − (−1)ⁿ podzielne przez 11, czyli 10ⁿ − (−1)ⁿ = 11 t ⇒ 10ⁿ = 11 t + (−1)ⁿ Mam pokazać, że z prawdziwości podzielności dla n , wynika podzielność dla n +1 10ⁿ⁺¹ − (−1)ⁿ⁺¹ = 10*10ⁿ − (−1)¹*(−1)ⁿ =10*10ⁿ +(−1)ⁿ = 10*(11 t +(−1)ⁿ) + (−1)ⁿ = = 11*10 t + 10*(−1)ⁿ + (−1)ⁿ = 11*10 t + 11*(−1)ⁿ = 11*( 10 t + (−1)ⁿ) − liczba podzielna przez 11. ckd.

ilona: Dziękuję Wam bardzo. W takiego typu zadaniach zawsze sprawia mi kłopot dobrnięcie do końca dowodu. Np w tym nie wpadlabym na to, zeby sobie pod 10n podstawic 11t+(−1)n

Janek191: 11 t + ( −1)ⁿ !

ilona: Tak, tak A teraz robię inne zadanie i też mi nie wychodzi Zał.: 3⁽2n+1)+40n−67=64x 3⁽2n+1)=64x−40n+67 Teza: 3⁽2n+3)+40n+40−67=64y Dowód: 3⁽2n+1)*9+40n−27=9*(64x−40n+67)+40n−27=9*64x−360n+423+40n−27 I tutaj z tego co widze nic mi to nie daje bo 400n nie dzieli sie przez 64 i tak samo 396...

sushi_gg6397228: do wykladnika daj nawiasy klamerkowe, bo nic nie widac

ilona: Zał.: 3²ⁿ⁺¹+40n−67=64x 3²ⁿ⁺¹=64x−40n+67 Teza: 3²ⁿ⁺³+40n+40−67=64y Dowód: 3²ⁿ⁺¹*9+40n−27=9*(64x−40n+67)+40n−27=9*64x−360n+423+40n−27

sushi_gg6397228: po co przenosisz "n"na prawa strone zostaw tak jak bylo zalozenie rozpisuj dowód tezy

ilona: 3²ⁿ⁺¹*9+40n−27 Czy teraz rozpisac 9 na 8+1?

zeesp: 3^2(n+1)+1+40(n+1)−67 =9*3²ⁿ⁺¹+40n+40−67 =(3²ⁿ⁺¹+40−67) + 8*3²ⁿ⁺¹+40 Z założenia indukcyjneg =64k+8(3²ⁿ⁺¹+5) Wystarczy zatem pokazać, ze 3²ⁿ⁺¹+5 jest podzielne prez 8 dla każdego n

zeesp: Pokaż to sama

ilona: Dowód: 3²ⁿ⁺³+5=3²ⁿ⁺¹*(8+1)+5=8*3²ⁿ⁺¹+3²ⁿ⁺¹+5=8x+8*3²ⁿ⁺¹ Juhuuu! dobrze?

zeesp: taak!

ilona: Aaaaa! Dziękuję! Jeszcze jedno spróbuję tylko nie z udawadniania podzielnosci

zeesp: spoko

ilona: 1²−2²+3⁻4²+...+(−1)ⁿ⁺¹*n²=(−1)ⁿ⁺¹*[n(n+1)]/2 Teza (−1)ⁿ⁺²*(n+1)²=(−1)ⁿ⁺¹*[(n+1)(n+2)]/2 Dowód: (−1)ⁿ⁺¹*[n(n+1)]/2+(−1)ⁿ⁺¹*n² Na razie jest dobrze?

zeesp: Napisz dokładniej polecenie..bo nie widać za bardzo do czego dążdymy D

ilona: Czasem tak bywa, ze czlowiek nie wie, do czego dąży xd Do udowodnienia indukcyjnie tego, ze 1² − 2² + 3² − 4² + ... + (−1)ⁿ⁺¹ * n² = (−1)ⁿ⁺¹ * [n(n+1)]/2 nie wiem jak sie zapisuje kreske ulamkową, wiec zapksałam w ten sposób

zeesp: dobra..teraz rozumiem

zeesp: 1²−2²+3²....+(−1)ⁿ⁺¹n²+(−1)^(n+1)+1(n+1)²

	n(n+1)
=(−1)n+1*(		)+(−1)(n+1)+1(n+1)2
	2

	n(n+1)
=(−1)n+1*(		)+(−1)*(−1)n+1(n+1)2
	2

	n(n+1)
=(−1)n+1(		−(n+1)2)
	2

	n(n+1)
=(−1)n+2((n+1)2−		)
	2

	2n2+4n+2		n(n+1)
=(−1)n+2(		−		)
	2		2

	2n2+4n+2−n2−n
=(−1)n+2(		)
	2

	n2+3n+2
=(−1)n+2(		)
	2

	(n+1)(n+2)
=(−1)n+2(		)
	2

	(n+1)((n+1)+1)
=(−1)(n+1)+1(		)
	2

OK

ilona: Dzięki! Rozumiem to, ale nie wiem, czy bym sama na to wpadła. Sama nie wiem, czy jutro poprawiać ocenę z indukcji, czy sobie dac spokoj xd

zeesp: przeczytaj wszystko jeszcze raz...odpocznij, przeczytaj jessccze raz, lulu...i powodzenia jutro!

ilona: Dziękuję. Mam nadzieje, ze sie jakos mi pojdzie

ilona: Bez sie

ilona: A jeszcze jak jest 1 zadanie to nie rozumiem skad sie wzielo: 10*10ⁿ+(−1)ⁿ=10*10ⁿ−10(−1)ⁿ+11*(−1)ⁿ

zeesp: −10*x+11x=x

zeesp: (taki "MYcZEK" )

ilona: Chcialam taki myxzek zrobic tez w zadaniu gdzie trzeba udowodnic, ze 5*49ⁿ⁺¹ + 8ⁿ jest podzielne przez 41. Doszlam do tego 5*49ⁿ⁺¹ * 49 + 8ⁿ*8 I teraz 49(5*49ⁿ⁺¹ +8ⁿ ) i tu powinnam coś odjąc, ale co?

zeesp: 5*49ⁿ⁺¹+8ⁿ=41k 5*49^(n+1)+1+8ⁿ⁺¹ =49*5*49ⁿ⁺¹+8*8ⁿ =49*5*49ⁿ⁺¹+49*8ⁿ−41*8ⁿ =49(5*49ⁿ⁺¹+8ⁿ)−41*8ⁿ =49*41k−41*8ⁿ =41(..)

zeesp: tu mykiem jest 8x=49x−41x Dopisujesz tyle ile ci trzeba

ilona: Ostatnie jescze xd (n² + 4n + 3)/[(2n+2)(n+2)] mam doprowadzic do (n+3)/[2(n+2)] cztli do tezy / to kreska ulamkowa

zeesp: n²+4n+3=(n+3)(n+1) zatem

n2+4x+3		(n+3)(n+1)		n+3
	=		=
(2n+2)(n+2)		2(n+1)(n+2)		2(n+2)

ilona: Tylko jak wpaśc na to, ze n²+4n+3=(n+3)(n+1)? Niby banalne, ale jednak.

zeesp: DD A jak robisz x²+4x+3=0 Δ=... x₁=.. x₂=.. i potem (x−x₁)(x−x₂)=0 to jest to samo

ilona: Jeszcze nie brałam delty ale w sumie udało mi się to rozpisać tak, ze wyszło mi bez liczenia delty i miejsc zerowych

zeesp: Na ogol dosc łatwo zgadnąć

ilona: Dzięki a ze tak spytam, na jakim poziomie edukacji jesteś? tzn. studiujesz jakąś matematykę, czy skąd taka wiedza?

zeesp: tak tak..jestem już starym studentem.. ale to naprawde proste rzeczy..tylko kwestia wprawy..tak sobie siedze teraz tu z nudy..zara wracam do swoich zajęc Powodzenia jutro

ilona: Jeszcze raz dziękuję! Ja pierwsza LO, na profilu z rozszerzoną matmą i taki trochę przeskok z poziomu w moim gimnazjum, a w terazniejszym liceum. Ale matma fajna jest