Dowodzenie podzielności Michał: Wykaż ze suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9

Ola: n,n+1,n+2 − trzy kolejne liczby naturalne n³ + (n+1)³ + (n+2)³ = ... rozpisz z wzoru skroconego mnozenia

Ola: + zał. n>0

Michał: Wyszło mi: 3a³ + 9a² + 15a + 9, co dalej ? Chce pokazać ze jeden z czynników tej liczby to 9 ale nie ma jak w tym przykładzie.

Jack: Witam, 3a³ + 9a² + 15a + 9 Schemat Hornera... i wychodzi : (a+1)(3a² + 6a + 9)

Jack: Dalej idąc tą drogą : (a+1)[3(a(a+2) + 3)] = 3(a+1)[a(a+2) +3] = 3a(a+1)(a+2) + 9(a+1) i mamy : 3a(a+1)(a+2) −> widzimy, że a, a+1, a+2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc któraś musi się dzielić przez 3... Mamy przed tym wszystkim trójkę, dlatego dzieli się to przez 9....bo 3*3 Druga część : 9(a+1) −> jest przed nawiasem 9...więc akurat wiadomo, że dzieli się przez 9

abel: n−1,n,n+1 − kolejne liczby naturalne dla n>0 (n−1)³+n³+(n+1)³ = n³−3n²+3n−1+n³+n³+3n²+3n+1 = 3n³+6n = 3n(n²+2) = 3n(n²−1+3) = 3n(n²−1) + 3*3n = 3(n−1)*n*(n+1) + 9n wniosek?

Mila: cd do rachunków [PMichała]] n³ + (n+1)³ + (n+2)³ =3n³ + 9n² + 15n + 9= =9n³+9n²+9n+9+(6n−6n³)= =9*(n³+n²+n+1)+6*n*(1−n²)= =9*(n³+n²+n+1)−2*3*(n−1)*n*(n+1)=9*k, k∊N liczba: (n−1)*n*(n+1) jest podzielna przez 3 jako iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych. Łatwiej się dowodzi w podobny sposób wg zapisu abel.