. Natalka: Całka

	2		2
Jak najprościej dojść do tego, że całka z −		to		?
	x2		x

Jest na to jakiś prosty wzór? Bo czasami, przy trudniejszych, ciężko zgadywać patrząc na pochodne.

Benny:

	1
Całka z xa=		*xa+1
	a+1

	−2		2
Całka z		=−(2)*(−1)*x−1=
	x2		x

Benny: +C oczywiście

Jerzy: z zastrzeżeniem: a ≠ − 1

Natalka: dziękuję

	3
a całka z −		?
	1   x   2

na dole 1/2 w potędze.

Jerzy: Jeśli zamierzasz obliczać całki elementarne, to będziesz miała poważny problem z trudniejszymi całkami ... musisz sie tego nauczyc na pamięć

Jerzy: = 3∫x^−1/2dx

Natalka: dzięki mam zaległości i niewiele notatek, ale jak tylko widzę waszą podpowiedź to rozumiem wszystko poswiece troche z tego weekendu na cąłki to powinno być dobrze będę tutaj wrzucać niektóre

Natalka: całka z tg(3x) t=3x

dt
	=3
dx

	dt
dx=
	3

	dt
= ∫tg(t)
	3

nie bardzo wiem co dalej

Natalka:

	1		1		1
=		∫tg(t)dt =		(−ln|cos(t)|) = −		ln|cos(3x)|
	3		3		3

tak?

Jerzy:

	sinx
∫tgxdx = ∫		dx = .. stosujemy podstawienie: t = cosx , dt = − sinxdx ...
	cosx

	1
= −∫		dt .... a to jest już całka elementarna
	t

Jerzy: no i dobrze .. tylko na końcu zawsze dopisuj stałą: + C

Natalka: ok, bo w odpowiedziach mam −ln(cosx) + C to to samo?

Jerzy:

	1
nie ∫tg(3x)dx = −		lncos(3x) + C
	3

natomiast: −ln(cosx) + C , to całka z tgx

Natalka:

	sin√x
1) ∫		dx
	√x

w poprzednich, prostszych podsławiałam albo za sinx albo za x pod pierwiastkiem tutaj jest to na raz i nie wiem jak to ruszyć

Jerzy:

	1
podstawiasz: √x = t ,		dx = dt
	2√x

Natalka: t=√x

dt		1
	=
dx		2√x

dx=2√xdt

	2√xsint*dt		2x12sint*dt		2tsint
=∫		= ∫		=		*dt = ∫2sint*dt = −2cos(√x)+C
	t		t		t

	sinxcosx
2) ∫		dx
	1+sin2x

za co tu podstawić? i na zapas 3) ∫(x²−1)e^1₃x3−x+2 podstawiać za cały wykładnik przy e?

Jerzy: aleś narozrabiała ..

	dx
t = √x ,		= dt
	2√x

	sin√x
= 2∫		dx = 2∫sintdt
	2√x

Pawel: 2) sinx = t 3) 1/3*x³ − x + 2 = t

Jerzy: 3) po podstawieniu masz całkę: ∫t*e^tdt ... i przez części

Natalka: Jerzy, skąd przed tamtą całką wzięła się dwójka?

Jerzy: bo musimy mieć w mianowniku 2√x ...

	sin√x		2sin√x		sin√x
∫		dx= ∫		dx = 2∫		dx = 2∫sintdt
	√x		2√x		2√x

Natalka: ok rozumiem 2) t=sinx

dt
	=cosx
dx

	dt
dx=
	cosx

	t*cosx*dt		tdt
= ∫		= ∫		= ......... ?
	(1+t2)cosx		1+t2

Jerzy: co Ty kombinujesz ? ... patrz:11:37 ... po podstawieniu dostajesz całke elementarną: 2∫sintdt

Jerzy: a ... chodzi o 2) ... podstawiasz sinx = t , cosxdx = dt , i masz całkę:

	t
∫		dt
	1 + t2

Jerzy: do 2) wskazówka: zauważ,ze można doprowadzić licznik do takiej postaci, aby był pochodną mianownika

Jerzy: teraz dopiero widzę, że dobrze podstawiłaś .... licz tą całke

Jerzy: trochę namieszałaś w zapisie ( masz w jednej całce dwie zmienne: x i t ), tak nie mozna

Natalka : Bo w sumie nie wiem, co oznacza to dt.

Natalka : Ok juz wiem. Przeciez to oznaczenie całki tylko z zmienna t...

Jerzy: ∫f(x)dx ... oznacza,że całkujemy funkcję f(x) po zmiennej x ∫f(t)dt .....oznacza,że całkujemy funkcję f(t) po zmiennej t dx,dt − to tzw. różniczki