przekształcenia Is: Jak przekształcić coś takiego, żebym mogła policzyć granicę w x=1 ? Bo na razie mam zero w mianowniku

	xn+1−(n+1)x+n
fn(x)=
	n2(x−1)2

Godzio: Może d'hospitalem?

(n + 1)xn − (n + 1)
	i znowu
n2 * 2(x − 1)

(n + 1)nxn − 1		n + 1
	→
n2 * 2		n

Is: tam w mianowniku ostatecznie wyjdzie 2n (taki szczegół), ale ogromne dzięki!

Godzio: Tak, racja

Is: A jak by wyglądało tutaj liczenie granicy przy n zmierzającym do nieskończoności? Nie wiem jak się do tego xⁿ⁺¹ zabrać

Godzio: A masz powiedziane jaki jest x? Przyznam szczerze, że przydałoby się pełne polecenie? Masz badać zbieżność jednostajną f_n(x)?

Is: f_n podane jak wyżej, x∊R |x|≤1, n∊N f(x)=lim_{n → ∞}f_n(x) Mam obliczyć lim_{x → 1}f(x)

Godzio: Rozumiem, że rozpatrujemy dwa przypadki? x ∊ R |x| ≤ 1 ?

Is: Tak mam napisane w poleceniu, więc podejrzewam że pewnie tak trzeba by to zrobić, z tym że pozwoliłam sobie to wpisać wcześniej w wolframa i dowiedziałam się, że sens to będzie miało tylko dla |x|≤1

Godzio: Chyba najrozsądniej byłoby by zamienić kolejność granic. Pytanie kiedy tak można?

Is: Zamienić kolejność? W jaki sposób?

Godzio: Chodzi mi o lim_x→1f(x) = lim_x→1lim_n→∞f_n(x) =

	n + 1
= limn→∞limx→1fn(x) = limn→∞		= 1
	n

Myślę teraz kiedy możemy tak zamieniać.

Godzio: Daj mi 10 min

Is: Hmmmm, no rzeczywiście ładnie by to wychodziło, tylko właśnie pytanie czy mogę tak zrobić. Też trochę mnie zastanawia że nigdzie w zadaniu nie wykorzystałam, że |x|≤1

Is: Nie ma sprawy

Godzio: Sformułujmy to co chcemy pokazać. Niech {f_n} będzie ciągiem jednostajnie zbieżnym na przedziale I do funkcji f i niech istnieje granica lim_x→x0f_n(x) dla każdego n większego od pewnego n₀. Wtedy lim_n→∞lim_{x → x0}f_n(x) = lim_x→x0f(x) Dowód: Niech lim_x→x0f(x) = g. Pokażemy, że jest równa granicy po lewej stronie. Z istnienia granicy wynika, że dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że

	ε
0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − g| <
	2

Ze zbieżności jednostajnej ciągu { f_n } na I mamy

	ε
|fn(x) − f(x)| <		dla n ≥ n0 i każdego x ∊ I
	2

Stąd z 0 < |x − x₀| < δ wynika |f_n(x) − g| ≤ |f(x) − f_n(x)| + |f(x) − g| < ε Ponieważ lim_x→x0f_n(x) istnieje (to było nasze założenie) to lim_n→∞lim_x→x0f_n(x) = g Załóżmy teraz na odwrót. Tzn. lim_n→∞lim_{x → x0}f_n(x) = g Niech lim_{x → x0}f_n(x) = g_n(x₀) oraz lim_n→∞g_n(x₀) = g Bez szczegółów: Z jednostajnej zbieżności mamy:

	ε
|fn(x) − f(x)| <
	3

Z istnienia granicy lim_n→∞g_n(x₀) = g

	ε
|gn(x0) − g| <
	3

Z istnienia granicy lim_{x → x0}f_n(x) = g_n(x₀)

	ε
|fn(x) − gn(x0)| <
	3

Ostatecznie dla |x − x₀| < δ mamy |f(x) − g| < |f_n(x) − f(x)| + |f_n(x) − g_n(x₀)| + |g_n(x₀) − g| < ε Co kończy dowód Ufff jakoś poszło. No dobra to wracając do Twojego zadania. Musimy pokazać, że Twój ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie na (−1,1). Wtedy będziemy mogli zamienić granicę.

Is: Dzisiaj już idę spać, jeszcze jutro będę myśleć nad tym zadaniem. Bo wszystko bardzo ładnie wygląda, z tym, że na wykładzie nie mieliśmy jeszcze zbieżności jednostajnej, więc będę musiała sobie o tym najpierw trochę poczytać. Jednakże, bardzo dziękuję za pomoc!

Godzio: Zawsze możesz przyjąć, że tak jest i zamienić granicę. Inaczej zadanie chyba nie da się zrobić.

Is: Tak dla potomnych; będąc po ćwiczeniach mogę wyjaśnić zadanie. Wieść głosi, że w tym zadaniu chodziło o pokazanie że tych granic właśnie nie można zamieniać. Bo najpierw liczę lim_n→∞ lim_x→1f_n(x)=¹₂ A druga część to lim_x→1lim_n→∞f_n(x)

	xn+1−(n+1)x+n
limn→∞		=0 ponieważ dla |x|≤1 xn+1 zawsze zmierza do 0,
	n2(x−1)2

więc pozostaje mi ułamek, którego potęga w mianowniku jest większa niż w liczniku. Stąd lim_x→10=0 A więc te granice nie są sobie równe. Chyba próbowałam wcześniej przekombinować to zadanie