ciągi henryk: Proszę o pilną pomoc. Dla jakich wartości parametru p pierwiastki równania x³−(2p+4)x²+(p²+4p)x=0 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

olekturbo: x przed nawias Δ > 0 x₃−x₂ = x₂−x₁ gdzie x₃ = 0

henryk: Dzięki, już mi się rozjaśniło

Metis: Niech x₁ , x₂ , x₃ oznaczają rozwiązania− miejsca zerowe wielomianu x³−(2p+4)x²+(p²+4p)x=0. Szukamy wartości parametru p, dla których nasze rozwiązania to są x₁ , x₂ , x₃ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. x₁ , x₂, x₃ 2x₂=x₁+x₃ // na pods. wł. ciągu artytmetycznego. x³−(2p+4)x²+(p²+4p)x=0. x(x²−(2p+4)x+(p²+4)=0 Wiemy więc ze jednym z rozwiązań jest liczba x=0 Teraz należy poddać badaniu trójmian o wzorze: x²−(2p+4)x+(p²+4)=0 Który musi mieć dwa różne rozwiązania Δ>0, by warunek spełniony w zadaniu mógł zostać osiągnięty. Zastanawiam się nad tym czy nie można zrobić tego zadania uzywając wzorów Viete'a dla wielomianu 3 stopnia. Czy trójmian może powtórzyć miejsce zerowe x=0 − chyba nie. Wtedy mielibyśmy rozwiązanie wielokrotne i warunek nie zostałby spełniony. Ktoś potwierdzi?

henryk: Dzięki za wyczerpującą odpowiedź Metis.

Metis: Masz może odpowiedź?

henryk: jeszcze nie mam

===: Tak jak napisałeś jednym pierwiastków jest x=0 Po wyłączeniu x przed nawias lecisz z Δ. Ale potem przypadki ... 1^o Pozostałe dwa pierwiastki równoodległe od x₁=0 Czyli x=0 jest osią symetrii paraboli (tej z nawiasu) czyli x_w=0 Dalej do rozważenia jeszcze dwa przypadki ... oba pierwiastki na lewo od 0 oba na prawo od 0

===: Wtedy oczywiście x₃=2x₂

Metis: A do tego pierwiastki różnych znaków, tylko równoodległe od x₁=0 Np −2, 0, 2 itd.

===: dokładnie

Metis: Jak zapisać warunek, który podałem? x1*x2<0 − różne znaki

===: x_w=0