Udowodnij Ola: Udowodnij że dla dowolnych liczb rzeczywistych a≠0 i b≠0 takich, że a²+b²=1 prawdziwa jest nierówność (1+¹_a²) (1+¹_b²)≥9

Ola: Jeden przez a kwadrat i jeden przez b kwadrat . Trudne do odczytania

zzz: Zapisz to tak jak powinno być używając dużego ułamka U..{..}

PW: Wskazówka Skorzystać z twierdzenia odwrotnego do jedynki trygonometrycznej.

Janek191: a ≠ 0 i b ≠ 0 i a² + b² = 1 ⇒ b² = 1 − a² a ∊ ( − 1; 1) \ { 0}, b ∊ ( − 1, 1) \ {0}

	1		1		1		1		1
( 1 +		)*(1 +		) = 1 +		+		+		=
	a2		b2		b2		a2		a2*b2

	a2*b2		a2 +b2		1		2 + a2*b2
=		+		+		=		=
	a2*b2		a2*b2		a2*b2		a2*b2

	2 + a2*(1 − a2)		2 + a2 − a4
=		=
	a2*(1 − a2)		a2 − a4

czyli

	2 + a2 − a4
f(a) =
	a2 −a4

	2 a − 4 a3)*(a2 −a4) − (2 + a2 − a4)*(2 a − 4 a3)
f '(a) =		=
	(a2 − a4)2

	8 a3 − 4a		√2		√2
=		= 0 ⇔ a = 0 ( odpada ) lub a = −		lub a =
	(a2 − a4)2		2		2

	√2		√2
f − osiąga minimum lokalne dla a = −		i dla a =
	2		2

	√2		2 + 0,5 − 0,25		2,25
ymin =f ( −		) =		=		= 9
	2		0,5 − 0,25		0,25

oraz

	√2
ymin =f(		) = 9
	2

Wazyl: Zachodzi nierówność:

2		1
	≤
a2+b2		√a2b2

Po prostych przekształceniach otrzymujemy tezę.

PW: Ola wprawdzie się nie interesuje losami rozwiązania, i nie napisała czy można użyć pochodnej (jak to zrobił Janek191), ale pokażę jak zrealizować pomysł z "jedynką". Prawdziwe jest twierdzenie: jeżeli dla pewnych liczb a,b∊R spełniona jest równość a² + b² = 1, to istnieje α∊R, taka że a = sinα i b = cosα. Twierdzenie to jest twierdzeniem odwrotnym do "jedynki trygonometrycznej". W takim razie

	1		1		1		1
(1+		)(1+		) = (1 +		)(1+		) =
	a2		b2		sin2α		cos2α

	1		1		1
= 1 +		+		+		=
	cos2α		sin2α		sin2αcos2α

	sin2α+cos2α		1
= 1 +		+		=
	sin2αcos2α		sin2αcos2α

	1		1		2
= 1 +		+		= 1 +		=
	sin2αcos2α		sin2αcos2α		sin2αcos2α

	8		8		8		8
= 1 +		= 1 +		= 1 +		≥ 1 +		= 9,
	4sin2αcos2α		(2sinαcosα)2		sin22α		1

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy sin2α = 1 lub sin2α = −1, to znaczy gdy

	√2		√2
a = ±		i b = ±
	2		2

Eta: To jeszcze ja dorzucę 3 sposób a²+b²=1 ⇒ b²=1−a² i a, b≠0

	1		1
jeżeli taka nierówność (1+		)(1+		)≥9 zachodzi to przekształcam ją
	a2		b2

równoważnie (a²+1)(b²+1) ≥9a²b² ⇔ (a²+1)(2−a²) ≥9a²(1−b²)⇔ −a⁴+a²+2≥ −9a⁴+9a² ⇔ 8a⁴−8a²+2≥0 /:2 4a⁴−4a²+1≥0 ⇔ (2a²−1)²≥0

	1		√2		√2
równość zachodzi dla a2=		⇔ a=±		i b=±
	2		2		2

zatem nierówność wyjściowa jest prawdziwa c.n.w

PW: Ola, Ola, tu ludzie mają już trzy pomysły, a Ty nic? Wczoraj rozwiązałaś sama czwartym sposobem?

Eta:

zombi: NIERÓWNOŚĆ MIĘDZY ŚREDNIMI AM−GM

1   1+   a2		a2+b2   1+   a2		b2   1+1+   a2		b2
	=		=		≥ 3√
3		3		3		a2

	1		b2
⇔ 1+		≥ 33√
	a2		a2

Analogicznie

	1		a2
1+		≥ 33√
	b2		b2

Mnożąc stronami, teza

PW:

Eta: W szkole średniej nie uczą średnich a szkoda

zombi: A powinny, bo nie są trudne do ogarnięcia, łatwe do udowodnienia, a potrafią zmiażdżyć większość zadanek i posiadają dużo zastosowań.

Eta: Raaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaacja