Wykazywanie z ułamkami
peterek_w: Wykaż, że jeżeli liczby a,b,c są różne od 0 oraz a≠b, b≠c, c≠a, to
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
|
| + |
| + |
| = |
| . |
| | a(a−b)(a−c) | | b(b−a)(b−c) | | c(c−a)(c−b) | | abc | |
Próbowałem wymnożyć to, ale wyszło mi działanie na całą stronę, i nic mi nie dało. Na pewno
musi być jakiś prostszy sposób, pomocy!
15 gru 21:41
zombi: (*) Zauważ, że a−b = −(b−a), podobnie a−c = −(c−a) oraz b−c = −(c−b)
Mnożę obustronnie Przez abc(a−b)(a−c)(b−c)
Otrzymuję
L = bc(b−c) + ac(−1)(a−c) + ab(−1)(−1)(a−b),
te "−1" biorą się z (*)
Prawa strona wygląda natomiast następująco
P = (a−b)(a−c)(b−c).
Czyli wystarczy, że uporządkujemy lewą stronę i otrzymamy to co po prawej.
L = b2c − bc2 −a2c + ac2 + a2b − ab2 =
= bc(b−c) + (a2b − a2c) + (ac2 − ab2) =
= bc(b−c) + a2(b−c) − a(b−c)(b+c) =
= (b−c)[bc + a2 − ab − ac] = (b−c)(a−b)(a−c) = P ckd.
15 gru 22:26
peterek_w: Dziękuję bardzo, gorąco pozdrawiam!
15 gru 22:48
PW: Małą masz stronę
Niech dla krótkości zapisu
f(a,b,c) = (a−b)(a−c)(b−c) = (a−b)(ab−ac−bc+c
2) =
= a
2b − a
2c − abc +ac
2 −ab
2 + abc + b
2c − bc
2 = a
2b − a
2c +ac
2 −ab
2 + b
2c − bc
2
Badana suma po lewej stronie jest równa
| b−c | | a−c | | a−b | |
| − |
| + |
| = |
| af(a,b,c) | | bf(a,b,c) | | cf(a,b,c) | |
| | bc(b−c)−ac(a−c)+ab(a−b) | |
= |
| = |
| | abcf(a,b,c) | |
| | b2c−bc2− a2c + ac2 + a2b − ab2 | | f(a,b,c) | | 1 | |
= |
| = |
| = |
| |
| | abcf(a,b,c) | | abcf(a,b,c) | | abc | |
15 gru 22:57
PW: Jak zwykle za długo się bawiłem
15 gru 22:58
Eta:
A w co się "bawiłeś" ?
15 gru 22:59
PW: W znalezienie sposobu, jak skomplikowane mianowniki zastąpić czymś prostszym, żeby się nie
"zarachować". Myślenie idzie mi ciężko.
15 gru 23:04
peterek_w: Heh, chodziło mi o szerokość
Dzięki!
15 gru 23:15