Extrema /najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji. Justyna: Witam, mam problem z nastepujacym zadaniem: wyznaczyc najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji: f(x)=x³|x+2|, <−4,1> f(−4)=−128 f(1)=3 f(x)={x³(x+2) dla x∊(−2,1) {x³−(x+2) dla x∊(−4,−2) f`(x)={4x³+6x² dla x∊(−2,1) {−4x³−6x² dla x∊(−4,−2) Badam ciaglosc funkcji w punkcie x=−2 lim x−>−2+= O limx−>−2₌O f(0)=0 zatem funkcja jest ciagla w punkcie x=−2 Obliczam pochodna lprawostronna:(z definicji)

	(−2+Δx)3(−2+Δx+2)−f(−2)
f+(−2) lim		=lim=8
	Δx

Δx−>0+ Δx−>0+ i odpowiednio lewostronna : f−(−2) lim=−8 Δx−>0− lCo oznacza ze pochodna w tym punkcie nie istnieje czyli moze meic w tym punkcie ekstremum wiec jak teraz sparwdzic znaki pierwszej pochodnej skoro dwa wzory pochodnych?I mam pytanie:czy w ogole moj tok rozumowania jest poprawny?Dziekuje i prosze o odpowiedz.

Miś: Dobrze rozumujesz. Pochodną można obliczyć: f'₋(−2) =−4*(−2)³ − 6*(−2)² = 8 f'₊(−2) =4*(−2)³ + 6*(−2)² = −8 Czyli pochodna zmienia znak z + na −, a to oznacza że w tym punkcie masz lokalne maximum f(−2) = 0

Justyna: Zatem jak wyznaczyc przedzialy w ktorych pochodna zmienia znak? Bo na matematyce postepujemy wedlug okreslonego algorytmu postepowania: wyznaczanie wzrou pochodnej, okreslanie miejsc w ktorych pochodna sie zeruje, przedzialy w ktorych pochodna rosnie badz maleje, a dopiero wtedy wyznaczanie ekstremow. Dlatego tez mam pytanie kolejne: Skad moge wiedziec ze pochodna zmienia znak po obliczeniu pochodnych lewo− i prawostronnych?

Miś: Warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ oraz ma pochodną f '(x₀) w pewnym sąsiedztwie S(x₀, δ) = S₋(x₀, δ)∪S₊(x₀, δ) oraz a). f '(x₀) < 0 dla każdego x∈S₋(x₀, δ) i f '(x₀) > 0 dla każdego x∈S₊(x₀, δ), to funkcja f ma w punkcie x₀ minimum (właściwe); b). f '(x₀) > 0 dla każdego x∈S₋(x₀, δ) i f '(x₀) < 0 dla każdego x∈S₊(x₀, δ), to funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum (właściwe). Mniej dokładnie określimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ ekstremum, jeżeli pochodna przechodząc przez punkt x₀ zmienia znak.

Justyna: Dobrze, zrozumialam: A jak postapic dla funkcji okreslonej wzorem: y=2−|x| f(x)={2−x dla x∊(0,∞) {2+x dla x∊(−∞,0) f`(x)={−1 dla x∊(O,∞) {1, dla x∊(−∞,0) Sprawdzam ciaglosc funkcji w punkcie x=0 lim 2−x=2 x−>O+ lim 2+x=2 x−>0− Zatem funkcja jest ciagla w punkcie x=0, co powinnam dalej zrobic? Obliczyc pochodne jednostronne? Obliczylam i wyszlo mi: f+(0)=0 f−(0)=0 i nie wiem co z tego faktu wynika i dlaczego w punkcie x=0 ma byc maksimum lokalne,dlacego nie minumum?Jak mam ustalic lopatologicznie te znaki?

Miś: Źle obliczyłaś pochodne: f'(x) = { +1 dla x < 0 { −1 dla x > 0 i dlatego: f'₋(0) = 1 f'₊(0) = −1 Pochodna lewo i prawostronna nie są równe, wiec pochodna nie istnieje.