Indukcja matematyczna
Karol: Dowieść, że a − b jest dzielnikiem an − bn.
To zadanie zestawu dot. indukcji matematycznej, więc chyba też należy się nią tu posłużyć. Nie
potrafię, proszę o pomoc :?
14 gru 00:07
ICSP: Do czego udało Ci się dojść ?
14 gru 00:26
Karol: Kompletnie nie mam pojęcia jak zacząć, udowadniałem do tej pory jedynie równości indukcyjnie i
jakoś powoli próbuję się męczyć z nierównościami. Ten przykład jest dla mnie trochę czarną
magią, a jest dosyć istotne w związku z zaliczeniem ćwiczeń
14 gru 00:33
ICSP: Początek się nie zmienia.
Sprawdzasz dla n = 1. Potem założenie oraz teza.
14 gru 00:34
Karol: Okej, dla n=1 działa, zapisałem. Teraz założenie − jak mam je zapisać? w postaci
Czy może słownie, że a − b jest dzielnikiem a
n − b
n ?
14 gru 00:39
ICSP: a,b ∊ Z
Założenie :
an − bn = k1(a−b) , k1 ∊ Z
Teza :
an + 1 − bn + 1 = k2(a−b) , k2 ∊ Z
Dowód:
L = ...
14 gru 00:42
Karol: a jak w dowodzie zmodyfikować k1(a−b) tak aby z tego wyszło a(n+1) − b(n+1) ? inaczej mówiąc
jak z an − bn zrobić a(n+1) − b(n+1) ?
14 gru 00:48
Karol: kurczę, tam gdzie te dziwne nawiasy powinny oczywiście wyjść potęgi
14 gru 00:49
ICSP: z założenia masz : an = (a−b)k1 + bn. Rozpisz lewą stronę tezy, potem wykorzystaj podaną
rowność. Powinno wyjśc.
14 gru 00:52
Karol: rozpisana lewa strona tezy wyszła mi taka:
2k
1(a−b) + b
n+1 − a
n+1
nie widzę dalej
14 gru 01:02
ICSP: coś źle rozpisałeś.
Przypomnę wzór : an + 1 = an * a
14 gru 01:04
Karol: k
1(a−b)(a+b) − (ba
n − ab
n)
14 gru 01:08
ICSP: dlaczego jeszcze zostało Ci an ?
14 gru 01:10
Karol: a an podstawiłem to co podałeś, a bn wziałem z tego samego równania i też je podstawiłem do
lewej strony tezy, po przeliczeniu tego wyszło mi takie coś właśnie
14 gru 01:11
ICSP: podstaw tylko za an.
14 gru 01:13
Karol: może tym razem dobrze
(ak
1 + b
n)(a−b)
14 gru 01:15
ICSP: = k2(a−b) , k2 ∊ Z
i regułka na koniec.
14 gru 01:17
Karol: ale skąd wiem, że ak1 + bn = k2 ?
14 gru 01:19
ICSP: W zbiorze liczb całkowitych działania mnożenia oraz dodawania są działaniami wewnętrznymi.
14 gru 01:21
Karol: nie rozumiem w jaki sposób można wnioskować z tego, że to całe ak
1 + b
n = k
2
14 gru 01:22
ICSP: masz postać :
(ak1 + bn)(a−b)
a po lewej stronie tezy :
k2(a−b)
jakie k2 przyjąć aby wszystko się zgodziło?
14 gru 01:30
Karol: znaczy okej, rozumiem że ak1 + bn jest całkowite, oraz, że k2 też jest całkowite. ale czy to
już kończy dowód? to mogą być dowolne liczby całkowite?
14 gru 01:31
ICSP: Nie pamiętasz definicji podzielności.
14 gru 01:34
Karol: chodzi o to ze jedna z nich musi byc wielokrotnoscia drugiej?
14 gru 01:43
ICSP: masz dwie liczby całkowite : a , b. (a , b ≠ 0). Kiedy mówimy, że :
a | b
?
14 gru 01:46
Karol: Gdy istnieje takie całkowite k, że k*a=b
14 gru 01:48
ICSP: Dochodzisz do momentu : k2 = ak1 + b2. Wiesz, ze jest to luiczba całkowita jako suma dwóch
liczb całkowitych oraz wiesz, że istnieje. Zatem podzielność zachodzi.
Cały dowód miał na celu pokazanie, że k2 istnieje i jest liczbą całkowitą.
14 gru 01:52
Karol: Dziękuję, rozumiem, jestem ogromnie wdzięczny za pomoc!
14 gru 01:58
Karol: A mam jeszcze jedno pytanie, dlaczego na początku nie sprawdzamy dla n=0 tylko n=1 ? Dla n=0
przecież równość tez zachodzi bo każda liczba jest dzielnikiem 0.
14 gru 15:53