parametr trygonometria intoxicate: Dla jakich wartości parametru k∊R równanie sin⁶x+cos⁶x=k ma rozwiązanie?

ICSP: Wykorzystaj wzór na sumę sześcianów.

zeesp: cos²x=1−sin²x cos⁶x=(cos²x)³=(1−sin²x)³ sinx=t∊[−1,1] czyli pytamy, dla jakich k, t⁶+(1−t²)³=k ma rozwiązanie... jeżeli t∊[−1,1] to zastanów się jakie wartości może mieć t⁶+(1−t²)³

Eta: Korzystamy ze wzorów a⁶+b⁶= (a²+b²)³−3a²b²(a²+b²) sin²x+cos²x=1 i 2sinx*cosx=sin(2x) sin⁶x+cos⁶x= (sin²x+cos²x)²−3sin²x*cos²x(sin²x+cos²x)=

	1		3
=1−3*		(2sinx*cosx*2sinx*cosx)*1= 1−		*sin2(2x)
	4		4

to

	3		4
1−		sin2(2x)=k ⇔ sin2(2x)=		(1−k)
	4		3

sin²(2x) ∊ <0,1> rozwiąż układ nierówności

4		4
	(1−k) ≥0 i		(1−k) ≤1
3		3

.......................................... i podaj odp: k∊ ............

intoxicate: dziękuję

Eta: No i ładnie