Udowodnić nierówność Klaudia1994: Cześć Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak udowodnić poniższą nierówność: |√x₁ ² +1 − √x₂ ² + 1| ≤ |x₁ −x₂| gdzie x₁, x₂≥0

zeesp: zawsze sobie można założyć, że x₁>x₂ (x₁=x₂ jest ok) wtedy można opuscic wartosc bezwględną Pytamy czy √x₁²+1−√x₂²+1≤x₁−x₂ /*√x₁²+1+√x₂²+1 (x₁²+1)−(x₂²+1)≤(x₁−x₂)*(√x₁²+1+√x₂²+1) x₁²−x₂²≤(x₁−x₂)*(√x₁²+1+√x₂²+1) (x₁−x₂)(x₁+x₂)≤(x₁−x₂)*(√x₁²+1+√x₂²+1) /: x₁−x₂>0 (x₁+x₂)≤(√x₁²+1+√x₂²+1) to ostatnie to oczywiście prawda bo jeżeli x≥0 to x=√x²<√x²+1 formalnie twoej rozumowanie powinno iśc z dołu w góre

Eta: Dla łatwości zapisów oznaczam x₁=a≥0 i x₂=b≥0 √a²+1−√b²+1≤|a−b| dla a>b i |a−b|=√(a−b)² Jeżeli taka nierówność zachodzi to przekształcamy ją równoważnie obustronnie do kwadratu a²+1+b²+1−2√(a²+1)(b²+1)≤ (a−b)² −2√a²b²+a²+b²+1≤ −2ab−2 /:(−2) √a²b²+a²+b²+1 ≥ ab+1 /² ( bo obydwie strony dodatnie a²b²+a²+b²+1≥ a²b²+2ab+1 a²−2ab+b²≥0 (a−b)²≥0 zachodzi zatem nierówność wyjściowa jest prawdziwa

Klaudia1994: Dziękuje A mogłabym prosić o małą podpowiedź, jak zabrać sie do tego przykładu |√a − √b| ≤ √|a −b|

zeesp: Oczywiscie zakładamy, że a,b≥0 1.a=b jest ok 2. Niech a>b wtedy można opuścić wartość bezwględną Czyli wystarczy pokazać, że jeżeli a>b to √a−√b≤√a−b

zeesp: obie strony przemnóż przez (√a+√b)*√a+b>0 i masz (a−b)√a+b≤(a−b)(√a+√b) /:a−b>0 √a+b≤√a+√b<−−−czyli cos takiego wystarczy pokazać, ale to oczywiste (podnies obie strony do kwadratu)

Klaudia1994: Dziękuje