Ograniczenie Przemysław:

	1		1
Pokazać, że 1+		+...+		−lnn
	2		n

jest ograniczony z góry.

Przemysław:

zombi: Miałem to zadanie na analizie 1 : ( Poszukaj czegoś ze stałą Eulera−Mascheroniego, ew. może pomoże ci nierówność

	x
x ≥ ln(x+1) ≥
	x+1

zombi:

	1
Z tej nierówności co ci podałem idzie. Podstaw za x:=
	n

Przemysław: Hmm... Dziękuję, może ta nierówność coś pomoże To jest ciekawe, mogę wziąć dowolnie dużą (byle skończoną) liczbę ograniczającą a jakoś mi to nie pomaga

Przemysław: @21:25 A to już próbuję

Przemysław: OK, mam

Przemysław: W sumie wystarczyła ta nierówność:

x
	≤ln(x+1)
x+1

Przemysław: Teraz myślę, jak ją uzasadnić... Dziękuję bardzo za pomoc

zombi: Dokładnie. Uzasadnij, używając pochodnych.

Przemysław: Próbowałem indukcyjnie, ale coś nie idzie Jak to zrobić pochodnymi?

zombi:

	x
Niech f(x)| = ln(x+1) −		. Dla x=0 funkcja jest równa zero.
	x+1

	1		1
Teraz pochodna f'(x) =		− (1+		)' =
	x+1		x

1		1		1		1
	− (−		) =		+		co dla x>0 jest dodatnie, zatem f(x) jest
x+1		x2		x2		x+1

rosnąca na przedziale [0,∞). Czyli stale dodatnia wobec tego

	x		x
f(x) = ln(x+1) −		≥ 0 ⇔ ln(x+1) ≥
	x+1		x+1

Przemysław: Bardzo sprytnie, trzeba przyznać

	1
Tylko skąd to w drugiej linijce: (1+		)'?
	x

	x
Nie powinniśmy różniczkować:		?
	x+1

	x		x+1−x
A (		)'=
	x+1		x2+2x+1

	1		1
Ale to i tak będzie dobrze, bo		−		>0
	x+1		x2+2x+1

zombi: Tak, oczywiście pomyślałem o odwrotności nie wiedzieć czemu.

Kacper:

	1		x
A twierdzisz, że 1+		=		?
	x		x+1

Przemysław: Dziękuję bardzo!

zombi: Napisałem Kacper, że błąd zrobiłem

Przemysław: Inne rozwiązanie:

	1
można pokazać, że (1+		)n+1 jest malejące
	n

jest też zbieżne do e (z definicji e)

	1
dlatego dla każdego n∊ℕ: (1+		)n+1≥e
	n

	1
więć dla każdego n∊ℕ: log((1+		)n+1)≥1
	n

	1
(n+1)log((1+		)≥1
	n

	1		1
log((1+		)≥
	n		n+1

Przemysław: przez "log" oznaczyłem logarytm naturalny.

Przemysław:

	1
No i jeszcze n=
	x

zombi: Dokładnie. Swoją drogą na jakiej uczelni jesteś? Podobne zadanka miałem u siebie.

Przemysław: UJ

zombi: Natomiast drugą stronę nierówności tj. x ≥ ln(x+1), łatwo można dostać z definicji e^x. Mamy

	xk		x2
exp(x) = ex = ∑		= 1 + x +		+ ...
	k!		2!

Dla dodatnich iksów mamy

	x2
ex = 1 + x +		+ ... ≥ 1+x ⇔ ex ≥ 1+x wystarczy zlogarytmować przy podstawie e i
	2!

mamy x ≥ ln(x+1)

zombi: Kolegę mam na drugim roku, zachwalał sobie uczelnie

Przemysław: Całkiem sympatycznie jest. Drugą stronę nierówności mogę dostać z:

	1
log(1+		)n≤1
	n

	1
bo (1+		)n jest rosnący i zbieżny do e
	n

btw. w 22:42 mam błąd, zbieżność tego ciągu nie wynika z definicji e, tylko z prostego przekształcenia A Ty, gdzie jesteś?