analiza Monika : Proszę o pomoc, zupełnie tego nie rozumiem.... Udowodnić, że jeśli ciąg a_n jest zbieżny, to jest ograniczony, to znaczy istnieje A takie, że |a_n|≤A dla wszystkich n∊N. Czy implikacja przeciwna jest prawdziwa?

Monika : Nikt nie mógłby pomóc? Proszę

ICSP: Niech q będzie granicą ciągu a_n. Wtedy dla n > n₀ mamy q − 1 ≤ a_n ≤ q + 1. Mamy dalej : ∀_{n ∊ N} |a_n| ≤ max{ |a₁| , |a₂| , ... , |a_{n0 − 1}| , |a_n0| , |g − 1| , |g + 1|} = A □ Aby pokazać, ze implikacja przeciwna nie jest prawdziwa wystarczy przyjąć a_n = (−1)ⁿ. Ciąg ten jest ograniczony oraz nie posiada granicy.

PW: To jest oczywiste, gdy popatrzeć na definicję ciągu zbieżnego: jeżeli g jest granicą ciągu a_n, to |a_n − g| < 1 dla wszystkich n > n₀, gdzie n₀ jest pewną liczbą naturalną. −1 < a_n − g < 1 g − 1 < a_n < g + 1, skąd wynika że − |g| − 1 < a_n < |g| + 1 |a_n| < |g| + 1, n > n₀. Biorąc A = max{|a₁|, |a₂|, ..., |a_n0|, |g|+1} widzimy, że |a_n| < A dla wszystkich n∊N. Oczywiście zamiast 1 w drugim wierszu można wziąć dowolną ε > 0, jedynka była tylko dla uproszczenia zapisu. Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa, sakramentalny przykład to ciąg −1, 1, −1, 1, −1, 1, .... − jest ograniczony (|a_n| ≤ 1), ale granicy nie ma.

Piotrek: DZIĘKUJĘ