Granica funkcji a dziedzina Ania95:

	√x+4 − 2
Mam do policzenia granicę lim(x−>0)		. Podstawiam za "x" "0" i mam
	√x+9 − 3

0/0, mnożę góre i dół przez licznik albo mianownik i dalej mam 0/0. Dodatkowo 0 nie należy do dziedziny funkcji. Jak policzyć taka granicę?

ICSP: Pomnóż licznik i mianownik przez (√x + 4 + 2)(√x + 9 + 3)

Ania95:

	tg 3x
Dziękuję. A jak rozwiązać taką granicę: lim(x−>0)		?
	arctg x

Saizou : np. z reguły Hospitala

ICSP: korzystając z granic :

tgx
	→ 1
x

x
	→ 1
arctgx

gdy x → 0

Ania95: Właśnie w tym zadaniu nie mogę korzystać z tej reguły Saizou. ICSP a z czego to drugie wynika?

	1		x
Jak za arctg x podstawię tg x do potęgi −1 czyli		to		= x* tg x czemu
	tg x		arctg x

to jest 1? Skoro x dązy do 0

ICSP:

	sinx
znasz granice :		→ 1 przy x → 0 ?
	x

Ania95: tak i myślę, że z tangensem jest podobnie, ale nie rozumiem tego z arctg. Swoją drogą co tu

	x		x     x		1
jest źle lim (x−>0)		= lim(x−>0)		=		= 1? Wynik ma
	cos x		cos x     x		1

być 0

ICSP:

	x		0
lim		=		= 0
	cosx		1

ICSP:

	x		tgt
lim		= | x = tgt , gdy x → 0 to t → 0 | = limt →0		= 1
	arctgx		t

Ania95: Czyli gdy x dąży do 0 sinx/x to 1, cosx to 1, tgx/x to 1, to już rozumiem. A skąd się bierze ten arc tg?

Jerzy: Witaj ICSP ... dzisiaj masz kolejny dzień wykładów , pozdrawiam (J)

ICSP: rozpisałem Ci granicę ze arctg.

ICSP: Witaj J Co miałeś na mysli wspominając o wykładach ?

Jerzy: kilka dni temu też miałeś na forum krótki wykład...nie pamietam o czym

Ania95: Ok dziękuję, przeanalizowałam to i rozumiem. Czyli finalnie jak to policzyć?

	tg 3x		tg 3x   * 3x   3x
lim (x−>0)		= lim (x−>0)		= 0 Co jest źle? Wynik ma
	arctg x		1

być 3.

ICSP: Ja wykładałem czy ktoś na mnie "krzyczał" ?

ICSP: a gdzie się podział arctg ?

Ania95: Ajjj tam jest 1 przez arc tg x a nie x/arc tg x Czyli arctg x = t −> tg t = x

	3x		3tg t
lim (x−>0)		= lim(x−>0)		= 3
	t		t

jest ok? Mam teraz problem jak rozpisać to, bo w końcu trafiłam na trudniejszy przykład.

	arcsin2 3x
lim (x−>0)
	arc tg x

Jakieś pomysły?

ICSP:

	arcsinx
limx → 0		=
	x

Ania95:

	arcsin 3x   ( )2   3x		1
Czyli mam lim(X−>0)		= lim(x−>0)		= tg x i gdy
	arctg x		(tg x)(−1)

x dąży do 0 to tg też dąży do 0 − widać na wykresie np. To dobry sposób rozwiązania?

Ania95: zgubiłam (3x)² w liczniku zaraz poprawie

Ania95: Czyli zamiast = tg x będzie = 9x² tgx i granica tego to też 0, jest ok?

ICSP:

	1
arctgx ≠		bo chyba w ten sposób to widzisz.
	tgx

	1
zapis (tgx)−1 nie odnosi się do wzoru x−1 =		, tylko do sposobu oznaczania funkcji
	x

odwrotnej. Zrobię Ci poprzedni przykład :

	tg(3x)		tg(3x)		1
limx → 0		= lim [		*		]=
	arctgx		1		arctgx

	tg(3x)		x		tg(3x)		x
= lim [		*		]= lim [3 *		*		] = 3 * 1 * 1 = 3
	x		arctgx		3x		arctgx

Ania95:

	x
a tego że		= 1 nie musimy już dodatkowo rozpisywać?
	arctgx

ICSP: nie trzeba. Jeśli x → 0 to:

	sinx
lim		= 1
	x

	tgx
lim		= 1
	x

	arctgx
lim		= 1
	x

	arcsinx
lim		= 1
	x

	ax − 1		ex − 1
lim		= lna ( w szczególności lim		= 1 )
	x		x

To są podstawowe granice z których korzystasz i których nie musisz uzasadniać).

Ania95:

	arcsin2 3x		arcsin 3x		x
lim (x−>0)		=lim(x−>0) (		)2 *		* 9x = lin
	arctg x		3x		arctg x

(x−>0) 1² * 1 *9x = 0

ICSP: po drugim znaku = powinno być : = 1 * 1 * 0 = 0

Ania95:

	1
Dziękuję. A lim(x−>0) (1+3x)		to jest do potęgi 1/x mam jakoś kombinować z liczbą e?
	x

ICSP: lim_{f(x) → 0} (1 + f(x))^1/f(x) = e

Ania95: Wyszło mi e³, na wolframie wynik jest taki sam, dzieki za podpowiedź. Mam jeszcze jedno pytanko: czy to nie jest tak, że ten wzór powinien działać tylko gdy x dąży do nieskończoności?

	1
Bo ja zapisałam to tak lim (x−>0) (1+3x)1/x = lim (x−>0) (1+		)(1/3x) i jescze do
	1/3x

potęgi 3 czyli e³. Ale czy tam nie powinien być x dążący do nieskończoności zamiast 0? Wiem ICSP, że u Ciebie f(x) dązy do 0 przy lim, ale nie rozumiem tego do końca,

ICSP: są dwie wersje :

	1
limf(x) → ∞ (1 +		)f(x) = e
	f(x)

oraz lim(f(x) → 0) (1 + f(x))^1/f(x) = e Obydwie oznaczają to samo.

Ania95: lim (x−>0) (1+sin x)^2x = lim (x−>0) (1+sin x)⁰ = 1 lim (x−> 0+) (1+x)^(1/x) = [1^∞] = e (z twojego wzoru)

	1
lim (x−>1) x(		) x do potęgi 1/1−x = lim (x−>1) eln x(1/1−x) = lim (x−>1)
	1−x

e⁽(1/1−x) ln x) = lim (x−>0) e (1/1−x) * 0 = e⁰ = 1 Czy pierwsze 2 są ok? Bo to że ostatnie jest źle to jestem pewna.

Ania95: Tam ma być e do potęgi ln(x) do potęgi 1/(1−x) czyli e do potęgi 1/(1−x) razy ln(x) czyli e do potęgi 1/(1−x) razy 0

ICSP: Pierwszy ma zły zapis. Drugi dobrze Trzeci źle

Ania95: A co jest nie tak w zapisie pierwszego? I jak rozwiązać to trzecie? Proszę o pomoc, nie mam pomysłu.

ICSP: lim_x−>0 (1+sin x)^2x = (1+0)⁰ = 1 drugie:

	lnx
limx → 1		= | t = 1 − x | = ...
	1 − x

Ania95: oj nie widzę tego, skąd to się bierze?

ICSP: którego ?

Ania95: To ostatnie, z logarytmem. Swoją drogą mam jeszcze jeden inny przykład lim (x−>0+−) U{2⁽1/x) − 2⁽−1/x)}{2⁽1/x) + 2⁽−1/x)}. Wyciągam tu przed nawias jeden składnik na dolei górze, on

	1 − 2(−2/x)
się skraca i zostaje		i teraz nie rozumiem dlaczego wynik
	1 + 2(−2/x)

tego to 1?Przecież jak x dąży do 0+− to tam będzie 2 do nieskończoności na górze i dole.. A z ćwiczeń mam przepisane jakby to było 0 i zostawałyby same jednynki

Ania95: Ciężko mi go tu zapisać na tym edytorze. Wygląda tak http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x-%3E0%5E-%29+%28%282%5E%281%2Fx%29-2%5E%28-1%2F%28x%29%29%29%2F%28%282%5E%281%2Fx%29%2B2%5E%28%28-1%29%2F%28x%29%29

ICSP: wrócę ze sklepu to spojrze na drugi, Na razie postaraj się wykonać podane podstawienie w zadaniu z logarytmem.

ICSP: nie rozumiem zapisu x → 0+−. Masz obliczyć granice jednostronne ?

Ania95: Nie rozumiem dalej jak to policzyć tak jak mi podpowiedziałeś z tym logarytmem, próbowałam ale nie wiem dalej skąd u ciebie się bierze w liczniku ln x i gdzie znika "x do potęgi .."

Ania95: tak jednostronne

Ania95: Bardziej zależy mi na tym zadaniu x do potęgi 1/1−x

ICSP: x^{1/(1 − x)} = e^{1_{1 − x} * ln x} = e^{lnx_{1 − x}} Zajmujemy się granicą samego wykłądnika.

	lnx
limx → 1		= |t = 1 − x , gdy x → 1 to t → 0 | =
	1 − x

	ln(1 − t)
= lim		= =lim ln (1 − t)1/t = ln e−1 = −1
	t

więc ostatecznie

	1
limx → 1 x1/(1−x) = e−1 =
	e

Ania95: Dziękuję ICSP