Dla jakich wartości parametru k. Mikołaj: Dla jakich wartości parametru k równanie x⁴−(3k+2)x²+k²=0 ma 4 różne rozwiązania tworzące ciąg arytmetyczny?

ICSP: połóżmy : f(x) = x⁴ − (3k + 2)x² + k². Zauważmy, że f(−x) = f(x). Więc jeżeli jakaś liczba dodatnia jest pierwiastkiem to liczba do niej przeciwna również jest pierwiastkiem. Oznaczmy najmniejszy dodatni pierwiastek przez r. Wtedy pierwiastek do niego przeciwny jest równy −r i dodatkowo jest to największy ujemny pierwiastek. Liczby r oraz −r są dwoma kolejnymi wyrazami naszego ciągu arytmetycznego. Stąd łatwo wyznaczamy wzór : a₁ = −3r , a₂ = −r , a₃ = r , a₄ = 3r − szukane pierwiastki. Przejdźmy do postaci iloczynowej: f(x) = (x − r)(x+r)(x−3r)(x+3r) = (x² − r²)(x² − 9r²) = x⁴ − 10r²x + 9r⁴ porównując współczynniki przy potęgach x² oraz x⁰ dostajemy 3k + 2 = 10r² k² = 9r⁴ Wystarczy go rozwiązać i pamiętać o podstawowych założeniach w tego typu zadaniach.

Mikołaj: Dzięki