Zwinięcie działania do wzoru skróconego mnożenia Zwarty: Witam wszystkich! Mam problem z pewnym zadaniem. Oto polecenie: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y takich, że |x| ≠ |y|, prawdziwa jest nierówność:

(x − y)(x3 + y3)		1
	>
(x + y)(x3 − y3)		3

Co zrobiłem. Wymnożyłem "na krzyż", przeniosłem wszystko na jedną stronę, rozwinąłem wzory skróconego mnożenia, wymnożyłem nawiasy, zredukowałem wyrazy podobne (dość męczące) i otrzymałem takie coś: x⁴ + 4x³y − 4xy³ − y³ > 0 I nie mam pojęcia, co dalej. Czy w ogóle dobrze zacząłem? Jeśli tak, to próbuję zwinąć powyższą lewą stronę nierówności do jakiegoś wzoru skróconego mnożenia, próbuję pogrupować, ale nic mi nie wychodzi. Macie jakiś pomysł, jak dokończyć to zadanie? Z góry dziękuję.

sushi_gg6397228: poszukaj na forum, to bylo ostatnio

Zwarty: Mały błąd. W nierówności: x⁴ + 4x³y − 4xy³ − y³ > 0 ma być y⁴

Jack: Można takie coś wymnażać "na krzyż " ?

Zwarty: No tak. Mały błędzik kardynalny. Zaczynam od nowa...

Jack: Znaczy ja tylko pytam, ale nie wiem czy ten znak czegos nie zmieni, wiec jest lekkie

	1
ryzyko...ja bym przeniosl		na lewo , potem wspolny mianownik i liczymy
	3

Zwarty: Dobra, zrobiłem tak, jak kazałeś, Jack i mam takie coś:

x2 + 4xy + y2
	> 0
(x−y)2

Co dalej?

Jack: hmm.mi wyszlo troszke inaczej

Zwarty: Proszę, podziel się ze mną tymi informacjami, bo mi już mózg wysiada od tych x'ów i y'ów

Jack: skopałem coś, już widzę, ale dobra sprawdzę czy twój wynik się zgadza

Jack: hmm, nie wiem...

Zwarty: Zrobiłem, jak radziłeś. Przeniosłem 1/3 na lewo, wspólny mianownik i potem w liczniku i w mianowniku rozwinąłem te wzory, wymnożyłem (obliczenia miałem już wykonane, bo moje całe pierwotne działanie z mnożeniem "na krzyż" było licznikiem w ułamku:

3(x − y)(x3 + y3) − (x + y)(x3 − y3)
	> 0
3(x + y)(x3 − y3)

Dlatego wyszło mi:

x4 + 4x3y − 4xy3 − y4
	> 0
3(x4 − 2x3y + 2xy3 − y4)

Potem pomnożyłem obustronnie przez 3 (można tak?). Dalej pogrupowałem, zrobiły mi się wzory skróconego mnożenia, skróciłem jeden nawias i zostało mi to, co napisałem wyżej.

Jack: jak mnozysz razy trzy to tylko do licznika dajesz....

Zwarty: Daje do licznika, więc jest 3(licznik) przez 3(mianownik). Trójki się skracają, czyż nie?

Jack: a wgl ja zaczalem troszke inaczej, czyli

(x−y)(x3 + y3)		1
	>
(x+y)(x3−y3)		3

(x−y)(x3 + y3)		1
	>
(x+y)(x−y)(x2+xy+y2)		3

(x3 + y3)		1
	>		//// * 3
(x+y)(x2+xy+y2)		3

3(x3+y3)
	> 1
(x+y)(x2+xy+y2)

Zwarty: Dobra, od początku. Wyjściowa nierówność:

(x − y)(x3 + y3)		1
	−		> 0
(x + y)(x3 − y3)		3

Wspólny mianownik, dalej wykonuję działania tylko w liczniku, trójka jest jednocześnie i w liczniku i w mianowniku, z tym, że w liczniku jest różnica, więc nie mogę skrócić, dlatego wymnażam wszystko i redukuję wyrazy podobne. Ostatecznie otrzymuję:

x4 + 4x3y − 4xy3 − y4
	> 0
3(x4 − 2x3y + 2xy3 − y4)

Dopiero teraz mnożę obustronnie przez 3, co powoduje likwidację 3 z mianownika. Dalej grupuję to, co mogę w liczniku i w mianowniku, skraca mi się (x² − y²) i zostaje tylko:

x2 + 4xy + y2
	> 0
(x − y)2

Dobrze rozumuję?

Jack: Niestety, ale chyba źle... jak to "trójka jest jednocześnie w liczniku i w mianowniku" a kontynuując moje rozważania

3x3 + 3y3
	− 1 > 0
(x+y)(x2+xy+y2)

3x3 + 3y3		(x+y)(x2+xy+y2)
	−		> 0
(x+y)(x2+xy+y2)		(x+y)(x2+xy+y2)

2(x3+y3 − x2y − xy2)
	>0 //// : 2
(x+y)(x2+xy+y2)

(x3+y3 − x2y − xy2)
	> 0
(x+y)(x2+xy+y2)

(x−y)2(x+y)
	> 0
(x+y)(x2+xy+y2)

(x−y)2
	>0
x2+xy+y2

w mianowniku delta jest mniejsza od zera czyli x ∊ R licznik zawsze wiekszy lub rowny zero i z polecenia wiemy, że |x| ≠ |y|. Czyli to nalezalo udowodnic

Zwarty: Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymuję:

3(x−y)(x3+y3)−(x+y)(x3−y3)
	> 0
3(x+y)(x3−y3)

Trójka jest w liczniku i mianowniku, nie da się nic zrobić, więc wymnażam wszystko w liczniku, a dopiero później usuwam trójkę z mianownika. Co jest źle?

Jack: a...dobrze jest, faktycznie...ale tak btw. niezle sobie sprawy komplikujesz ; D

Zwarty: Czy komplikuje... po prostu ch*jnia troszkę, że muszę jednym, ustalonym z góry sposobem to rozwiązać, bo inaczej dojdę do czegoś, co mi nic nie da. W każdym bądź razie, nie da się nic zrobić z moim sposobem? Z góry dzięki za pomoc, bardzo mi pomogłeś

Jack: nie mowie ze sie nie da, wymnazam wlasnie i zobacze, czy sie zgadza z postem 21:14

Jack: chyba zle licznik wtedy wymnozyles...mi wyszlo :

2x4 + 4xy3 − 4yx3 − 2y4
3(x4−xy3+yx3−y4)

Jack: i mianownik wlasciwie tez inny... ; o

Zwarty: Jeśli możesz, to sprawdź, czy tym sposobem też doszłoby do rozwiązania zadania. Matematyka królową rycia bani. Możliwe, że gdzieś popełniłem błąd w rachunkach.

Jack: Chyba ja tez sie gdzies walnalem...w kazdym razie, wynik wyjdzie ten sam

Zwarty: Jeszcze jedno pytanie. Jak zwinąłeś licznik: x³+y³−x²y−xy² do postaci: (x−y)²(x+y)? Bardzo mnie ciekawi, jak ludzie "wynajdują" wzory skróconego mnożenia czy cokolwiek to jest.

Jack: Grupowanie...naprawdę bardzo pomaga x³+y³−x²y−xy² = (x³ − x²y) + (y³ − xy²) = x²(x−y) − y²(x−y) = (x−y)(x²−y²) = (x−y)(x−y)(x+y)

Jack: zapis (x³−x²y) + (y³−xy²) = x³−x²y + y³−xy²... nawias tylko po to, żeby było ładniej widać

Zwarty: Dzięki. Jesteś wielki. Uratowałeś mi życie. Miłego wieczoru.

Jack: Wzajemnie ; )