Znajdź takie parametry a, b, żeby funkcja była ciągła: Kaemteka: Znajdź takie parametry a, b, żeby funkcja była ciągła:

	ln(1+sin(ax)
f(x)={		, x<0
	ex − 1

2013, x=0

	1− cos(tgx)
		, x>0
	(sin(bx))2

Wiem, że granica lewostronna z 1. wzoru powinna być równa prawostronnej z 3. i równa wartości f(0)=2013, ale jak to zrobić? Przy okazji mam jeszcze pytanie o n→∞. np. inf A=(−1)n mogę udowodnić z granicy przy n→∞, zakładając, że w tej nieskończoności co drugie n powinno być przecież nieparzyste, czy to jest jakaś kompletna herezja? Dziękuję bardzo za odpowiedź, czeka mnie 1. kolokwium w poniedziałek i się denerwuję... (to są zadania z poprzednich kół)

Benny: Liczyliście granicę przy użyciu de l'Hospitala?

Benny: Chociaż ładnie da się przekształcić.

	ln(1+sin(ax))		ln(1+sin(ax))sin(ax)/sin(ax)
limx→0−		=limx→0−		=
	ex−1		ex−1

	sin(ax)*(ln(1+sin(ax))1/sin(ax)		x
=limx→0−		*		*a=
	ex−1		ax

	sin(ax)		x
=limx→0−		*		*(ln(1+sin(ax))1/sin(ax)*a=a
	ax		ex−1

Jeśli nie wiesz czemu zostało tylko "a" to pytaj

	1−cos(tgx)
limx→0+		=
	(sin(bx))2

	tgx   1−2cos2 +1   2		tgx   2(1−cos2 )   2
=limx→0+		=limx→0+		=
	(sin(bx))2		(sin(bx))2

	tgx   2sin2   2		tgx   ( )2   2		(bx)2
=limx→0+		*		*		=
	(sin(bx))2		tgx   ( )2   2		(bx)2

	1   2* tg2x   4		1
=limx→0+		=
	(bx)2		2b2

Nie jestem pewny tego drugiego, bo liczyłem wszystko tutaj.

Kaemteka: No właśnie Hospitala już nawet znamy, ale mamy zakaz używania go na 1. kole, dopiero na 2. ... bez sensu. dziękuję bardzo, w życiu bym na to nie wpadła sama, ale jak zobaczę sposób, to jest szansa, że coś podobnego wyprodukuję a masz może pojęcie o tym n→∞? bo to mi by się przydało jeszcze w innych zadaniach, np. mogę napisać coś takiego: ⁿ√−6*7ⁿ ?

Benny: Całe zadanko daj to będę wiedział o co chodzi.

ZKS: Można w ten sposób.

ln[1 + sin(ax)]		x		ln[1 + sin(ax)]
	=		•		=
ex − 1		ex − 1		x

x
	• ln[1 + sin(ax)1/x] =
ex − 1

x
	• ln[1 + sin(ax)]1/sin(ax) • sin(ax)/x =
ex − 1

x
	• ln[1 + sin(ax)]1/sin(ax) • sin(ax)/ax • a
ex − 1

Dla x → 0⁻ mamy 1 • ln(e^{1 • a}) = a

ZKS: Nie zauważyłem myślałem, że pierwsze też było liczone regułą de l'Hospitala.

Benny: Nigdzie nie korzystałem z de l'Hospitala. Sprawdź drugą cześć, bo mogłem się gdzieś machnąć.

ZKS: Jest okej spojrzałem na wypowiedź o użyciu de l'Hospitala i nie zwróciłem uwagi na to, że jest to przekształcone do podstawowych granic, a nie przy użyciu de l'Hospitala.

Kaemka: No dobra, jednak mam pytania 😊 Benny, w 2. linijce dlaczego możemy wyłączyć sin ax z potęgi? Czemu ln(1+sin ax)^{sin ax} to 1, skoro tam jest 1+sin ax a potęga to sin ax?

	x
No i		to nie 0/0?
	ex −1

ZKS, dlaczego x wędruje z mianownika do potęgi?

Benny: ln(1+sinax)^sinax≠1 lim_x→∞(1+a_n)^1/a_n=e

	ex−1		x
limx→0		=1⇔limx→0		=1
	x		ex−1

Pozwolę sobie odpowiedzieć na pytanie skierowane do ZKS.

	1
c*logab=logabc w tym przypadku c=
	x

Jeśli nadal jest coś niezrozumiałe, pytaj

Kaemka: No tak, własności logarytmu! A mi tak się ln kojarzy z e i z tym że ma za podstawę granicę że podchodzę do niego jak do jeża

	ex−1		sin x
A ta granica x→0		to jest taka specjalna granica jak lim x→0		? Bo w tej
	x		x

postaci to na chłopski rozum 0/0

Benny: Tak też taka "specjalna" granica. Na wykładzie nie było?

Kaemteka: No nie, jestem prawie pewna, że nie było − w notatkach nie mam. Może w zeszłym roku mieli, dlatego był taki przyklad na kole. W każdym razie dziękuję bardzo i... mam kolejne zadanie, którego nie mogę znaleźć w necie Moje ukochane dowody: Udowodnij, że jeśli funkcja f określona na przedziale (a, b) jest ciągła jednostajnie na przedziałach (a, c], [c, b) to jest też ciągła jednostajnie na przedziale (a, b) Ja chyba nawet nie rozumiem dokładnie, dlaczego tak jest. No bo niby oba przedziały zawierają c, ale czy w jednym nie może być to f. malejąca wolniej, a w drugim o szybciej, bo w każdym z tych przedziałów ma nieco inny wzór (ad. piękny wykres )?