prawdopodobieństwo olaa: Do trzech szuflad wrzucamy losowo 9 różnych kul. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że : a) żadna szuflada nie będzie pusta? b) dwie szuflady będą puste?

Mila: 9 różnych kul rozłożyć do 3 różnych szuflad A,B,C. 3⁹− liczba wszystkich możliwości, |Ω|=3⁹ A−żadna szuflada nie będzie pusta a) jedna pusta, wtedy wszystkie kule są rozłożone do dwóch wybranych szuflad, żadna z tych dwóch nie jest pusta

3 1
	*(29−2)=3*(29−2)=3*29−6

b) dwie puste :

3 2
	*1=3 możliwości, wszystkie kule znajdą się w jednej wybranej szufladzie

|A|=3⁹−(3*2⁹−6+3)=3⁹−3*2⁹+3

	39−3*29+3		38−29+1
P(A)=		=
	39		38

PW: Rozmieszczenia 9 kul w 3 szufladach to dowolne funkcje (1) f: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} → {1,2,3} (każdej kuli przypisujemy numer szuflady, do której trafiła). Jak wiadomo funkcji takich jest 3⁹. Kto nie zna tego twierdzenia, może pomyśleć tak: − pierwszą kulę możemy umieścić na 3 sposoby (w szufladzie nr 1, nr 2 lub nr 3) − drugą kulę możemy umieścić na 3 sposoby (w szufladzie nr 1, nr 2 lub nr 3) − trzecią kulę możemy umieścić na 3 sposoby (w szufladzie nr 1, nr 2 lub nr 3) ................ − dziewiątą kulę możemy umieścić na 3 sposoby (w szufladzie nr 1, nr 2 lub nr 3) zatem wszystkie kule możemy rozmieścić na 3·3·3·3·3·3·3·3·3 = 3⁹ sposobów. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω sklada się więc z |Ω| = 9³ zdarzeń, prawdopodobieństwo każdego z nich jest jednakowe, co wynika z losowości rozmieszczania kul. Można stosować twierdzenie zwane klasyczną definicją prawdopodobieństwa. Niech A oznacza zdarzenie "żadna szuflada nie będzie pusta". Oznacza to, że wśród funkcji typu (1) nie może być takich, które przyjmują tylko wartości ze zbioru {1,2} lub tylko wartości ze zbioru {1,3} lub tylko wartości ze zbioru {2,3} lub tylko jedną z możliwych wartości. Liczba funkcji (2) g : {1.2.3.4.5.6.7.8.9} → {1,2} jest równa 2⁹ (z tym że wśród nich jest również funkcja przyjmująca tylko wartość 1 i funkcja przyjmująca tylko wartość 2). Liczba funkcji (3) h : {1.2.3.4.5.6.7.8.9} → {1,3} jest równa 2⁹ (z tym że wśród nich jest również funkcja przyjmująca tylko wartość 1 i funkcja przyjmująca tylko wartość 3). Liczba funkcji (3) k : {1.2.3.4.5.6.7.8.9} → {2,3} jest równa 2⁹ (z tym że wśród nich jest również funkcja przyjmująca tylko wartość 2 i funkcja przyjmująca tylko wartość 3). Zdarzenie A składa się więc z 3⁹ − 2⁹ − 2⁹ − 2⁹ + 3 = 3⁹ − 3·2⁹ + 3 = 3(3⁸ − 2⁹ + 1) zdarzeń elementarnych. Składnik +3 bierze się stąd, że odejmując trzykrotnie 2⁹ podwójnie odjęliśmy każdą z funkcji przyjmujących tylko jedną wartość).

	|A|		3(38 − 29 + 1)		38 − 29 + 1		29−1
P(A) =		=		=		= 1 −		.
	|Ω|		39		38		38

PW: Znowu nie widziałem, ale chociaż to dobre, że mamy ten sam wynik a)

Mila: a) liczba suriekcji f:{x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉}→{s₁,s₂,s₃}

	3 i
∑(i=0 do 3)(−1)i *		*(k−i)9

Robert:

3 1
	*(29−2)=3*(29−2)=3*29−6

W przykładzie A, dlaczego odejmujemy 2?

Robert: up