Udowodnij nierówność Krzysiek: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność: 7a(b+c)≤5(a² + b² + c²)

PW: Załóżmy, że a ≠ 0, gdyż nierówność byłaby oczywista. Gdyby podstawić a = x, b = px, c = qx, to badana nierówność przyjmie postać 7x(px+qx) ≤ 5(x² + p²x² + q²x²) 7(p+q)x² ≤ 5(1 + p² + q²) x², a po podzieleniu przez x² > 0 7(p+q) ≤ 5(1 + p² + q²), p, q∊R. Jeszcze nie sukces, ale już coś − z nierówności o trzech zmiennych dostaliśmy równoważną nierówność dwóch zmiennych.

Eta: Z nierówności , które zachodzą dla każdych liczb rzeczywistych , a, b, c (5a−7b)²≥0 ⇔ 25a²−70ab+49b²≥0 i (5a−7b)²≥0 ⇔25a²−70ac+49c²≥0 dodając stronami + −−−−−−−−−−−−−−− 50a²−70a(b+c)+49b²+49c²≥0 ⇔ 70a(b+c)≤ 50a²+49b²+49c² ≤ 50a²+50b²+50c² /: 10 otrzymujemy tezę: 7a(b+c) ≤ 5(a²+b²+c²) c.n.u

Eta: W drugiej nierówności wkradł się chochlik (5a−7c)²≥0

PW: Tak jest, "tak to oni zrobili" (oczywiście w 3. wierszu (5a−7c)²). Staram się podrzucić jakieś koło ratunkowe, gdy za diabła człowiek nie może wpaść na to "proste, ale genialne"

Eta: Kto to są Ci "oni" ? ( bo nie wiem?

PW: Ci co pracują w CKE i innych gremiach od układania zadań. Myślę, że bardzo dobrym posunięciem dydaktycznym byłoby zadać uczniom ułożenie paru takich nierówności dla kolegów − sposób jest znany. Tylko kto ma na takie zabawy czas na lekcjach?

Eta:

Krzysiek: Skąd się wzięło: (5a−7b)²≥0

PW: "Z głowy, czyli z niczego". Niektórzy widzą takie rzeczy, bo kilkanaście takich nierówności już widzieli (może sami układali dla uczniów). A umiałbyś udowodnić prawdziwość nierówności z 15:50?