Liniowa niezależność Przemysław: Wykazać, że funkcje 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sin3x, cos3x, ... są liniowo niezależne jako wektory z |R^|R Proszę o podpowiedź

b.: Można by tak: załóżmy, że jakaś kombinacja liniowa daje zero, tzn. ∑_k=0ⁿ a_k cos(kx) + ∑_k=1ⁿ b_k sin(kx) = 0 Mnożymy obustronnie przez cos(mx) (m=0,1,...n ustalone dowolnie) i całkujemy po [0,2π], tylko całka z cos²(mx) nie zniknie, więc otrzymamy a_m = 0. Podobnie mnożąc przez sin(mx) (m=1,...,n) i odcałkowując dostaniemy b_m=0. Czyli wszystkie współczynniki w tej kombinacji liniowej są zero.

Przemysław: Nie rozumiem, ale tu chyba zakładasz, że funkcji jest skończenie wiele?

Przemysław:

b.: Oczywiście, bo tak jest określona kombinacja liniowa −− zawsze jest skończenie wiele składników.