oblicz sumę Kuba: Oblicz sumę 1*2+2*3+...+n(n+1)=? jaki schemat?

Godzio: 1² + 2² + ... + n² + 1 + 2 + 3 + ... + n =

	n(n + 1)(2n + 1)		n(n + 1)		n(n + 1)		2n + 1
=		+		= ...		* (		+ 1) =
	6		2		2		3

	n(n + 1)		2n + 4		n(n + 1)(n + 2)
=		*		=
	2		3		3

Kuba: Mógłbym zapytać skąd (ewentualnie jakie twierdzenie, teoria)? Mam jeszcze obliczyć (1+1/1)¹*(1+1/2)²*...*(1+1/n)ⁿ ewentualnie jak taką tożsamość udowodnić to będę jakoś do tego dochodził, a chciałbym zrozumieć

Kuba: btw. dzięki wielkie

Kuba: Jakaś podpowiedź?

J:

	1
słyszałeś o takiej granicy: limn→∞(1 +		)n = ?
	n

Kuba: Słyszałem, ale w konsekwencji mam otrzymać wynik ((n+1)²)/n! ale bardziej chodziło mi o pierwsze zadanie

Mila: zadanie1. ∑(dla k=1 do n)[k*(k+1)]=∑(dla k=1 do n)(k²+k)= =∑(dla k=1 do n)k²+∑(dla k=1 do n)k= =(1²+2²+3²+....n²)+(1+2+3+4+...+n) i tu masz wzory , które wypisał Godzio

AS: Korzystam z tożsamości (x + 1)³ − x³ = 3*x² + 3*x + 1 Dla x = 1,2,3,...,n otrzymujemy 2³ − 1³ = 3*1² + 3*1 = 1 3³ − 2³ = 3*2² + 3*2 + 1 4³ − 3³ = 3*3² + 3*3 + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−− (n + 1)³ − n³ = 3*n² + 3*n + 1 Stronami dodajemy (n + 1)³ − 1³ = 3*(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3*(1 + 2 + 3 + ... + n) + n*1 (n + 1)³ − 1³ = 3*S + 3*n/2*(n + 1) + n n³ + 3*n² + 3*n + 1 − 1 = 3*S + 3/2*n² + 3/2*n + n |*2 2*n³ + 6*n² + 6*n + 2 = 6*S + 3*n² + 3*n + 2*n 6*S = 2*n³ + 3*n² + n S = 1/6*n*(n + 1)*(2*n + 1) co należało wykazać