Zadanie optymalizacyjne. Balmain: Mapa o wysokości 1,4m została powieszona na ścianie tak, że jej dolny skraj znajduje się 1,8m wyżej od oczu obserwatora. W jakiej odległości od mapy widzi on ją najlepiej, to znaczy pod największym kątem?

Michał G.: x − szukana odległość, x > 0 Kluczem do rozwiązania problemu jest znalezienie funkcji którą będziemy maksymalizować. Dla zachowania czytelności mnożę długości boków przez 10. Z rysunku możemy zauważyć że:

	18		18
· tan(β) =		⇒ β = arctan(		)
	x		x

	14 + 18		32		32
· tan(α + β) =		=		⇒ α + β = arctan(		)
	x		x		x

Z tych dwóch zależności możemy zapisać, że:

	32		18
α = α + β − β = arctan(		) − arctan(		)
	x		x

	a−b
Wykorzystując wzór arctan(a) − arctan(b) = arctan(		) możemy zapisać, że:
	1+ab

	32		18		14x
α = α + β − β = arctan(		) − arctan(		) = arctan(		) = d(x)
	x		x		x2+576

To właśnie funkcję d_(x) będziemy maksymalizować. W zadaniach optymalizacyjnych po wyznaczeniu funkcji do minimalizacji/maksymalizacji szukamy jej tzw. punktów stacjonarnych, czyli punktów, w których pochodna tej funkcji jest równa 0. Wzór na pochodną funkcji d_(x):

	d		14x		−14(x2 − 576)
		arctan(		) =
	dx		x2+576		196 + (x2+576)2

Obliczenie tej pochodnej zostawiam studentowi Punkty stacjonarne są tam, gdzie pochodna funkcji jest równa 0. Funkcja wymierna jest równa 0 wtedy i tylko wtedy gdy jej licznik jest równy 0: −14(x² − 576) = 0 ⇒ x = ±24 Przypomnijmy że x jest odległością (x > 0), więc x = −24 należy odrzucić. Funkcja y = −14(x² − 576) to parabola, której ramiona skierowane są w dół, więc punkt x = 24 jest jej wierzchołkiem i jednocześnie maksimum tej funkcji.

	7
Maksimum to jest równe arctan(		), czyli ≈ 16,26°.
	24

Na koniec pamiętajmy aby wyliczoną odległość podzielić przez 10 aby zachować odpowiednie jednostki. Odp. Obserwator widzi najlepiej mapę z odległości 2,4 metra pod kątem ≈ 16,26°