Rozwiąż równanie (trygonometryczne) Prostak: Próbowałem podnieść obustronnie do kwadratu, ale wręcz się nie znam na tych założeniach które trzeba robić − nie umiem eliminować wyników, a w odpowiedziach jest x= pi/2 +4kpi/3 , k ∊ C sin (x/2) + cos (x/2) = √2 sin x

Prostak: A dodając sinusy wyszła mi konstrukcja sin(3/4*pi − x/2) − sinx=0 z którą nie umiem się uporać, więc jestem w kropce.

Mila:

	x		x
sin(		)+cos(		)=√2 sinx
	2		2

takie masz równanie do rozwiązania?

Prostak: Tak. Przepraszam, że nie było jasne.

Mila:

	x		x
sin(		+cos(		)=√2*sinx /:√2⇔
	2		2

√2		x		√2		x
	sin(		)+		cos(		)=sinx ⇔
2		2		2		2

	x		π		π		x
sin(		)*cos(		)+sin(		)*cos(		)=sinx ⇔
	2		4		4		2

	x		π
sin(		+		)=sinx
	2		4

x		π		x		π
	+		=x+2kπ lub		+		=π−x+2kπ
2		4		2		4

	x		π		3x		3π
−		=−		+2kπ lub		=		+2kπ⇔
	2		4		2		4

	π		π		4kπ
x=		−4kπ lub x=		+		, k∊C
	2		2		3

i możesz tak zostawić, lecz możesz zauważyć,

	π		4kπ
że x=		+		zawiera rozwiązania pierwsze.
	2		3

Prostak: Dzięki! A przy takim zostawianiu na np. egzaminie maturalnym nie zabierają punktów za nie zauważenie? Niby matura tylko papierek, ale przyszła szkoła wymaga to siedzę i zakuwam...

Mila: Nie zabierają, bo to jest prawidłowa odpowiedź. Zakuwaj dalej, to będzie dobrze.

PW: Podnoszenie równania stronami do kwadratu niesie niebezpieczeństwo "wprowadzenia nieistniejących rozwiązań" (patrz prosty przykład [307623, 23:05). Dlatego rozwiązanie Mili jest lepsze. Jeżeli podniósłbyś stronami do kwadratu, to działałbyś metodą "analizy starożytnych", czyli byłoby to rozumowanie w stylu "jeżeli jakaś liczba spełnia równanie, to spełnia ona także równanie o stronach podniesionych do kwadratu". Takie rozumowanie jest poprawne, ale wymaga sprawdzenia − czy to co jest rozwiązaniem równania drugiego, jest także rozwiązaniem równania początkowego. Możesz spróbować tej metody − chyba nie jest trudna rachunkowo (po lewej będzie jedynka trygonometryczna plus sinx, a po prawej 2sin²x). Konieczne jest jednak sprawdzenie.