dowody algebraiczne boczekarnold: udowodnij ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,z takich ze x+y+z=3 prawdziwa jest nierownosc x²+y²+z² ≥ 3. zaczelam tak: x+y+z=3 / :3 i nie wiem co dalej zrobic , prosze pomoc

Jack: Po co dzielisz przez 3? : )

ICSP: Masz dwie podpowiedzi : 1^o Zachodzi równosć: x² + y² + z² = (x + y + z)² − 2(xy + xz + yz) 2^o Zachodzi nierowność: x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz

boczekarnold: nie rozumiem

Jack: Jest taki wzór skróconego mnożenia : (x+y+z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz

zeesp: (x+y+z)²=((x+y)+z)²=(x+y)²+2(x+y)z+z²=x²+2xy+y²+2xz+2yz+z²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz co nie

zombi: Jak mówisz Jack "jest taki wzór", brzmi to strasznie Przecież wystarczy wymnożyć każdy czynnik razy każdy i się dostanie to co prawej stronie. Nie rozumiem nauki wzorów skróconego mnożenia. Ludzie wkuwają wzory typu (a+b)² = a²+2ab+b² bezmyślnie nie zdając sobie sprawy, że zgodnie z zasadą podawaną w podstawówce, jest to wymnożenie każdy razy każdy. Smutne Nie pije do ciebie Jack tylko mówie o ogólnej sytuacji.

Jack: Naturalnie, wzór powstał poprzez wymnożenie, jeśli ktoś go nie zna, to łatwo można go wyprowadzić.

boczekarnold: nie rozumiem tej nierownosci , i co robic dalej

zeesp: jesteś strasznym leniem

boczekarnold: nie jestem leniem , tylko nie kumam tego xd

ICSP: no to udowodnij nierówność rozpisująć : (x − y)² + (x − z)² + (y−z)² ≥ 0 potem zauważ, ze masz tak jakby trzy główne czynniki : 1) x² + y² + z² 2) xy + xz + yz 3) x + y + z Jeden występuje w tezie, drugi występuje w założeniu, a trzeci jest zbędny i trzeba się go pozbyć( wyznaczyć go z pierwszego równania i wstawić do nierówności)

Eta: Z nierówności między średnimi : kwadratową i arytmetyczną

	x2+y2+z2		x+y+z		3
3√		≥		=		=1 /3
	3		3		3

x2+y2+z2
	≥1 ⇔ x2+y2+z2≥3
3

c.n.w

Eta: Przepraszam wkradł się chochlik :

	x2+y2+z2		x+y+z
√		≥		( pierwiastek oczywiście kwadratowy
	3		3