trygonometria, równanie Słaby matematyk: (sin x)³ + (cos x)³ = 1 Jakby ktoś umiał rozwiązać to bym prosił o pomoc.

Słaby matematyk: Gdyby ktoś szukał − (sin x= 0 or sin x= 1 ) and (cos x= 0 or cos x= 1) Nie da się skrócić do 1 iloczynu

Bogdan:

	π		π
sinx + cosx = sinx + sin(		− x) = √2cos(x −		)
	2		4

	π
(sinx + cosx)2 = 2cos2(x −		)
	4

i

	π		1
(sinx + cosx)2 = 1 + 2sinx cosx ⇒ sinx cosx = cos2(x −		) −
	4		2

************************************************************************************ sin³x + cos³x = 1 ⇒ (sinx + cosx)(1 − sinx cosx) = 1

	π		3		π
√2cos(x −		)*(		− cos2(x −		)) = 1
	4		2		4

	π
cos(x −		) = y i y∊<−1, 1>
	4

	3
√2y * (		− y2) = 1 ⇒ ... ⇒ 2y3 − 3y + √2 = 0
	2

	√2		√2		√2
y1 =		: 2(y −		)(y2 +		y − 1) = 0
	2		2		2

	π		√2
cos(x −		) =		⇒ ...
	4		2

	√2
Trzeba jeszcze rozwiązać równanie: y2 +		y − 1 = 0
	2

Bogdan: Inne i prostsze rozwiązanie tego równania (i dało się zapisać równość w postaci iloczynu): sin³x + cos³x = 1 ⇒ sin²x + cos²x − sin³x − cos³x = 0 sin²x(1−sinx) + cos²x(1−cosx) = 0 ⇒ (1 − cos²x)(1 − sinx) + (1 − sin²x)(1 − cosx) = 0 (1 − cosx)(1 + cosx)(1 − sinx) + (1 − sinx)(1 + sinx)(1 − cosx) = 0 (1 − cosx)(1 − sinx)(cosx + sinx + 2) = 0 cosx = 1 ⋁ sinx = 1 ⋁ sinx + cosx = −2 (ostatnia równość jest sprzeczna)