Zbieżność szeregów, Twierdzenie Mertensa Przemysław: ∑a_n jest bezwzględnie zbieżny. Pokazać, że ∑a_n² jest bezwzględnie zbieżny. Może tak być? ∑a_n²≤(∑a_n)(∑a_n) prawa jest iloczynem zbieżnych (i spełnione jest, że co najmniej jeden jest bezwzględnie zbieżny) , więc będzie zbieżna lewa jest mniejsza/równa od zbieżnego, więc też jest zbieżna.

Przemysław: może być?

zombi: Można chyba również tak: ∑a_n − bzwg zbieżny, czyli ∑|a_n| − zbieżny Czyli ∑|a_n| = ∑√a_n², ale ∑a_n² = ∑|a_n|² ≤ (∑|a_n|)²

zombi: Twoje rozwiązanie nie wiem czy przejdzie bo co jeśli wyrazy a_n nie są dodatnie albo zmieniają znaki to wówczas ten iloczyn szeregów może nam wypluć wyrazy z minusami gdzieś i może nie zajść nierówność. Moim zdaniem, może ktoś potwierdzi.

Przemysław: Chyba masz rację, jakoś sobie ubzdurałem, że tak będzie. Dużo było takich nierówności, ale one dla wyrazów tylko nieujemnych chyba były. I teraz co, (∑|a_n|)² jest iloczynem dwóch zbieżnych. To jeszcze musi być, że ∑|a_n| jest bezwzględnie zbieżny, ale to będzie bo | |a_n| | = |a_n|, a ∑|a_n| jest zbieżny

zombi: Ale czemu ∑|a_n| musi być bezwzględnie zbieżny?

Przemysław: Musi być, żeby iloczyn był zbieżny? A przynajmniej jest wynikanie: jeżeli chociaż jeden z szeregów jest bezwzględnie zbieżny, to iloczyn szeregów jest zbieżny. Jakoś tak (mnożone szeregi muszą być też zbieżne tak w ogóle).

zombi: Ale masz informacje ∑a_n − bzwg zbieżny, czyli ∑|a_n| zbieżny. Kwadrat zbieżnych jest zbieżny i tyle. Nie wiem po co chcesz nakładać drugą wartość bzwg tj ||a_n||

Przemysław: A skąd kwadrat zbieżnych jest zbieżny?

Przemysław: Bo ja to chciałem wpasować w twierdzenie Mertensa.

zombi: Ale po co tak kombinować. Co to znaczy, że szereg jest zbieżny? Oznacza to tylko tyle. że ∑a_n = S − stała. Do kwadratu, nadal dostajesz stała Martensy to można ubrać na nogi

Godzio:

	1		1
an zbieżny ⇒ an → 0 ⇒ od pewnego miejsca an <		⇒ an2 <
	n		n2

Z kryterium porównawczego szereg ∑a_n² zbieżny.

Przemysław: W sumie racja

zombi: No Godzio jeszcze inaczej

Przemysław: @Godzio Tego to nie rozumiem. "a_n zbieżny ⇒ a_n → 0" OK druga część 1. linijki, OK, bo a_n jest od pewnego miejsca mniejsze od czegokolwiek dodatniego. I co dalej?

Godzio: Dalej podnoszę do kwadratu obustronnie (może lepiej tak:

	1		1
an → 0 ⇒ −		< an <
	n		n

	1
I teraz podnieść do kwadratu i mamy an2 <
	n2

Przemysław: No tak Tylko co porównujesz tym porównawczym?

Godzio:

	1
∑		− zbieżny więc ∑an2 również
	n2

Przemysław: O wow. No jasne Pomyliło mi się z tym asymptotycznym.

	1
Ale chwilę. To, że jakieś wyrazy (an2) są mniejsze niż		to nie wystarcza, żeby
	n2

szereg był zbieżny. No i skąd wiadomo, że n−ty wyraz (a_n²) jest mniejszy dokładnie n−temu

	1
wyrazowi (		)?
	n2

b.: @Godzio 23:48, @Przemysław 16:25: Masz rację Przemysławie, z tego, że a_n−>0 nie wynika, że od pewnego miejsca a_n<1/n². Np. a_n = 1/ln(n+1). ad pierwszy post: Ta nierówność nie jest prawdziwa, np. dla a₁=1, a₂=−1, pozostałe a_n=0. Używanie tw. Mertensa to trochę jak strzelanie z armaty do wróbla. Można np. tak: a_n−>0, więc od pewnego miejsca |a_n|≤1, więc |a_n|²≤|a_n| i stosujemy kryterium porównawcze. @zombi: ,,Co to znaczy, że szereg jest zbieżny? Oznacza to tylko tyle. że ∑an = S − stała. Do kwadratu, nadal dostajesz stała'' Tylko jeśli dopuszczamy przypadek nieskończonej stałej może się zdarzyć, że ∑a_n jest zbieżny, ale ∑a_n² −− nie, warto znależć odpowiedni przykład.

Przemysław: Dziękuję!