Wielomiany z parametrem lanafane: Dla jakich wartości parametru m równanie x⁴+2(m−2)x²+m²−1=0 ma dwa różne rozwiązania? Znalazłam rozwiązanie tego zadania tutaj : http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=32&t=1736 ale nie rozumiem przedstawionych tam przypadków, ani co to jest t1, t2 .... Może ktoś miły by mi wytłumaczył ?

Tadeusz: masz tu równanie dwukwadratowe, które rozwiązujesz przed podstawienie x²=t gdzie t>0

J: t = x²

lanafane: No tyle to rozumiem. Ale nie rozumiem warunków. I co to znaczy t1, t2?

PW: Niech W(x) =x⁴ + 2(m − 2)x² + m² − 1. Gdyby m² − 1 = 0, to znaczy m = 1 lub m = −1, mielibyśmy do czynienia z wielomianem W₁(x) = x⁴ + 2(−3)x² = x²(x² − 6) lub W₂(x) = x⁴ + 2(1 − 2)x² = x²(x² − 2). Zarówno W₁ jaki i W₂ nie spełniają warunków zadania, gdyż mają po trzy różne pierwiastki. Parametr m = −1 oraz parametr m = 1 nie spełniają warunków zadania. W dalszym ciagu zakładamywięc, że m² − 1 ≠ 0, czyli że wielomian W nie ma pierwiastka równego 0. Jest oczywiste, że jeżeli x₀ ≠ 0 jest pierwiastkiem wielomianu W, to również (− x₀) jest pierwiastkiem. Żądanie istnienia tylko dwóch różnych pierwiastków wielomianu W oznacza więc żądanie istnienia tylko jednego pierwiastka dodatniego x₀ (odpowiadający mu pierwiastek ujemny − x₀ jest drugim pierwiastkiem). Tym samym (po podstawieniu t = x²) wielomian Q(t) = t² + 2(m−2)t + m² −1 musi mieć jeden dodatni pierwiastek. Ma to miejsce, gdy:

	−2(m−2)
a) Δ = 0 i		> 0,
	2

to znaczy gdy 4(m−2)² − 4(m²−1) = 0 i m − 2 < 0 4m² − 16m + 16 − 4m² + 4 = 0 i m < 2 16m = 20 i m < 2

	5
m =
	4

lub

	m2−1
b) Δ > 0, czylipierwiastki są dwa, ale różnych znaków, tzn. jednocześnie		<0
	1

16m < 20 i m² − 1 < 0

	20
m <		i m∊(−1, 1)
	16

	5
m <		i m∊(−1, 1)
	4

m∊(−1, 1).

	5
Z a) i b) wynika odpowiedź: Badany wielomian ma dwa różne pierwiastki dla m∊(−1, 1)∪{		}
	4

To straszliwie przegadane, ale chciałeś żeby jakoś wytłumaczyć skąd się biorą różne przypadki dla pierwiastków wielomianu Q(t)..