Ile rozwiazan ma rownanie? Jacek: a,b,c,d sa liczbami całkowitymi nieujemnymi. założenie: 10>=a>=3 , 8>=b>=4 , 9>=c>=2 , 12>=d>=1 Ile rozwiazab ma rownanie: a+b+c+d=30

Godzio: A umiesz podać odpowiedź przy danych: x₁,x₂,x₃,x₄ ≥ 0 x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 8?

Godzio: Przede wszystkim trzeba wiedzieć, że równanie postaci:

	k + n − 1 k		k + n − 1 n − 1
x1 + ... + xn = k ma		=		rozwiązań w liczbach całkowitych

nieujemnych 10 ≥ a ≥ 3 ⇒ 7 ≥ a − 3 ≥ 0 8 ≥ b ≥ 4 ⇒ 4 ≥ b − 4 ≥ 0 9 ≥ c ≥ 2 ⇒ 7 ≥ c − 2 ≥ 0 12 ≥ d ≥ 1 ⇒ 11 ≥ d − 1 ≥ 0 a − 3 + b − 4 + c − 2 + d − 1 = 30 − 3 − 4 − 2 − 2 Niech x₁ = a − 3, x₂ = b − 4, x₃ = c − 2 oraz x₄ = d − 1 x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 19 Gdyby przyjąć, że x₁,x₂,x₃,x₄ ≥ 0 to liczba rozwiązań takiego równania

	22 19		22 3
(w liczbach całkowitych nieujemnych) to		=		.

Od tego wyniku należy odjąć rozwiązania, które wykraczają poza nasz zakres. Przyjmijmy, że A₁ to zbiór rozwiązań, dla których x₁ ≥ 8 A₂ to zbiór rozwiązań, dla których x₂ ≥ 5 A₃ to zbiór rozwiązań, dla których x₃ ≥ 8 A₄ to zbiór rozwiązań, dla których x₄ ≥ 12 Szukamy ilości elementów |A₁∪A₂∪A₃∪A₄|. Jak się domyślasz, korzystamy ze wzoru włączeń i wyłączeń, a do tego potrzebujemy policzyć |A_i|, |A_i∩A_j|, |A_i∩A_j∩A_k|, i,j,k = 1,2,3,4 oraz i ≠ j i j ≠ k i i ≠ k Aby policzyć |A₁| (dla |A₃| analogicznie) mamy:

	14 3
x1 − 8 + x2 + x3 + x4 = 11 ⇒ liczba rozw:

Dla |A₂|:

	17 3
x1 + x2 − 5 + x3 + x4 = 14 ⇒

Dla |A₄|:

	10 3
x1 + x2 + x3 + x4 − 12 = 7 ⇒

|A₁∩A₂| = |A₃ ∩ A₂|

	9 3
x1 − 8 + x2 − 5 + x3 + x4 = 6 ⇒

|A₁∩A₄| = |A₃∩A₄| x₁ − 8 + x₂ + x₃ + x₄ − 12 = −1 −− 0 rozwiązań |A₁∩A₃|

	6 3
x1 − 8 + x2 + x3 − 8 + x4 = 3 ⇒

|A₂∩A₄|

	5 3
x1 + x2 − 5 + x3 + x4 − 12 = 2 ⇒

Widzimy również, że przekrój trzech dowolnych zbiorów jest pusty. Ostatecznie, liczba rozwiązań:

22 3		14 3		17 3		10 3		9 3		6 3		5 3
	− (2 *		+		+		− 2 *		−		−		) = 210

Jacek: Piwo to mało dla Ciebie teraz już mam nadzieje kompletnie to zrozumiem !

Godzio: