g.: zbadaj zbieżność szeregu. kilka przykładów. 1. (-1)ⁿ 1 1 1 -------- = ------- = ----- * ---------- 2n² 2n² 2 n² 2 to α >1 czyli szereg jest zbieżny. oczywiście zastosowałam moduł na samym początku, w tym przykładzie poniżej również. 2. (-1)ⁿ 1 -------- = (-1)ⁿ * ------- korzystam z kryterium Cauchy'ego -> n3ⁿ n3^{n n}√1/n3ⁿ = ⁿ√1 / ⁿ√n * ⁿ√3ⁿ = 1/3 <1 szereg zbieżny. 3. (-2n)ⁿ ----------- = korzystam z kryt. Cauchy'ego (n+1)ⁿ i mam ⁿ√ (- 2n / n+1)ⁿ = - 2n/n+1 = -2 <1 szereg zbieżny. tutaj mam pytanie. mam liczbę ujemną -2n. czy w takim wypadku mogę włożyć to pod pierwiastek? czy może najpierw muszę zastosować moduły? jednak jak zastosuję moduł to granicą będzie 2 i szereg będzie rozbieżny... 4. √n+1 - √n 1 ------------------ = ------------------------ n² n² √n+1 + √n 1 1 1 ------------------------ ≤ ------------- ≤ ------------ n² √n+1 + √n 2n²√n 2n^5/2 czyli szereg zbieżny, bo α > 1. 5. √n+1 - √n 1 ---------------- = -------------------- = ? √n √n *(√n+1 - √n) tutaj nie wiem co dalej.... czy w ogóle dobry sposób wybrałam... 6. ⁿ√1 / nⁿ⁺¹ granica góry dąży do 1, a dół? .... 7. | sin n | 1 |--------- | = ---------- = ? | (n+1)² | (n+1)² Proszę o pomoc...

b.: 1,2 ok (choć mogłabyś pisać moduł |.| tam gdzie go zastosowałaś ) 3. tak, musisz wziąć moduł. Zwróć uwagę, że w kryt. C. jest założenie o nieujemności wyrazów (ew. we wzorze od razu bierze się moduł). Gdy wyjdzie 2, to szereg jest rozbieżny (i akurat *tutaj* nie ma znaczenia, że wzięłaś moduły, kryt. C. mówi tyle, że jeśli ⁿ√|a_n| -> g > 1, to szereg ∑a_n (bez modułów) jest rozbieżny (oczywiście wówczas również ∑|a_n| jest rozb.) 4. ok (choć trzeba pisać nawiasy przy √n+1+√n) 5. pomyłka, musisz mnożyc licznik i mian przez √n+1+√n 6. a dół to ⁿ√nⁿ*ⁿ√n -> ∞ 7. nie ma = tylko ≤ (aj, kiedy się oduczysz pisać = tam gdzie ich nie ma?) no i kryt. porównawcze... - zbieżny

pipi: Brawo Marcin

g.: 5. tak więc mnożę przez √n+1 + √n √n+1 - √n 1 1 1 ---------------- = -------------------- = ------------ = ----------- → 0 √n √n *(√n+1 + √n) n + √n + n 2n + √n można zrobić to w ten sposób? 6. tak więc jeżeli góra 1 a dół ∞ to granicą będzie 0 ? (w Krysickim w odpowiedziach jest, że szereg jest rozbieżny.... ) 7. sin n 1 1 ----------- ≤ --------- ≤ ---------- (n+1)² (n+1)² n² =α > 1, czyli zbieżny. może być? a co do = .... już nie będę

b.: 5. pokazałaś tylko, że wyrazy szeregu zbiegają do 0, czyli że spełniony jest war. konieczny zbieżności - trochę mało... poza tym, druga równość jest nieprawdziwa - pomnóż uważnie trzeba szacować odpowiednio (kryt. porównawcze) -- podpowiem, że szereg będzie rozbieżny 6. znowu, granicą jest 0, czyli spełniony jest war. konieczny zbieżności szeregu - i tylko tyle! 7. trzeba nałożyć moduł na sin n (zob. kryt. porównawcze: szeregi mają wyrazy nieujemne lub są moduły). ale reszta dobrze (pomijając to, że piszesz n²=α>1 -- chyba α=2>1?)

g.: 5. 1 1 1 = -------------------- = ------------ = ----------- √n *(√n+1 + √n) n + 1√n + n 2n + √n 1 1 1 1 ------------------ ≥ ------------------ ≥ ----- * ---- ≥ 0 2n + √n 3n 3 n 6. czyli co muszę zrobić? użyć kryterium porównawczego? czy Alemberta? 7. tak wiem że to ta potęga jest alfą. po prostu źle napisalam

b.: 5. √n*(√n+1+√n) = √n*(n+1) + n > √n²+n=2n, czyli 1 1 0≤ ------------------------------ ≤ ------------ √n*(√n+1+√n) 2n ta środkowa = w 1. wierszu równość u Ciebie jest nieprawdziwa 6. możesz spróbować d'A, ale okaże się, że to nic nie da (granica wyjdzie 1) więc tak, porównawcze (znaczy zakładam, że wyrazem szeregu jest ⁿ√1/nⁿ⁺¹ )

g.: 5. √n*(n+1) + n = √n² +n + n > √n²+n=2n, nie rozumiem tego ... √n²+n= jak to jest równe 2n ? 6. ⁿ√1/nⁿ⁺¹ ≥ ⁿ√1/nⁿ = ⁿ√1/n czyli 1/n ≥ 0 rozbieżny. może być?

b.: 5. √n²=n n+n=2n jest tam √n²+n a nie √n²+n 6. pierwsza nierówność jest nieprawdziwa (na odwrót jest), ale blisko, blisko... rzeczywiście trzeba porównywać z a/n

g.: 5. aaa, faktycznie 6. ⁿ√1/nⁿ⁺¹) ≥ ⁿ√1/2nⁿ) = ⁿ√1/2n czyli 1/2 * 1/n ≥ 0 ?

g.: a teraz jest ok?

snk: Tak zajrzałem przypadkiem, i rozwiązanie przykładu 3 jest moim zdaniem błedne: Otóż (-2n / (n+1))ⁿ := a_n nie spełnia nawet warunku koniecznego zbieżności szeregu, gdyż granica lim a_n ≠ 0 (mianowicie ona nie istnieje, gdyż gdy weźmiemy podciąg o wyrazach parzystych dostaniemy +∞, w przeciwnym wypadku -∞. I kryterium Cauchy'ego działa jedynie na szeregach o wyrazach dodatnich. Tak wiec, jeżeli wykażesz ze lim ⁿ√|a_n|>1 to nie pociąga to, ze szereg ∑ a_n jest rozbieżny, a jedynie, że ∑ | a_n | jest rozbieżny.

g.: czyli jak mam zrobić ten przykład 3.... ?

b.: 6. nie, dalej nie jest ok, pierwsza nierówność jest nieprawdziwa (jest w odwrotną stronę) najłatwiej byłoby chyba z kryt. ilorazowego, ale może być też tak: ⁿ√n->1, a skoro jest to ciąg zbieżny, to jest ograniczony, tzn. ⁿ√n≤M dla pewnej liczby M. No i teraz ⁿ√1/nⁿ⁺¹ = 1/(n*ⁿ√n) ≥ 1/(n*M) = (1/M) * (1/n) 3. są 2 wersje kryt. Cauchy'ego: 1. 0≤a_n, oraz g=lim ⁿ√a_n, wówczas g < 1 ⇒ ∑ a_n jest zbieżny, g>1 ⇒ ∑a_n rozbieżny 2. a_n dowolne, g=lim ⁿ√|a_n|, wówczas g < 1 ⇒ ∑ |a_n| jest zbieżny, g>1 ⇒ ∑a_n rozbieżny więc jeśli z wersji 2 korzystasz, to jest ok, a jeśli z wersji 1, to nie jest ok (nawiasem mówiąc, jeśli w kryt. Cauchy'ego lub d'A wyjdzie granica g>1, to war. konieczny zbieżności nie jest spełniony, więc argument snk jest równoważny stosowaniu kryt. C. w wersji 2)

ssss: ∑2ⁿ/n! ∑1/n czy szreg jest zbiezny ? oby dwa (n=1)

ssss: ∑2ⁿ/n! ∑1/n czy szreg jest zbiezny ? oby dwa (n=1)

ssss: ∑2ⁿ/n! ∑1/n czy szreg jest zbiezny ? oby dwa (n=1)

jaroo: ∑1/2n−1

anna: ∞ ∑3ⁿ/n³ n=2

Krzysiek: szereg rozbieżny, skorzystaj np. z kryterium Cauchy'ego

rafal: √3+sinⁿ

rafal: twierdzenie o zbieżności prosze o pomoc

greg: ∑ n²/5ⁿ−2

,km: ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ