Pochodne Benny:

	sinx
Niech f(x)=		, dla x>0 oraz n będzie dodatnią liczbą naturalną. Udowodnij, że
	x

	1
|f(n)(x)|<		,
	n+1

gdzie f⁽ⁿ⁾ oznacza n−tą pochodną funkcji f. Możecie dać pomysł jak to zacząć?

Benny: Ktoś?

Saizou : oblicz n−tą pochodną

Benny: Jakiś konkretny wzór jest?

Saizou : licz tak długo aż czegoś nie zauważysz

Benny: Przecież tam będzie milion wyrazów w liczniku

Godzio:

	sinx
f(x) =
	x

	xcosx − sinx		cosx		sinx
f'(x) =		=		−
	x2		x		x2

	− xsinx − cosx		x2cosx − 2xsinx
f''(x) =		−		=
	x2		x4

	sinx		cosx		cosx		2sinx
= −		−		−		−		=
	x		x2		x2		x3

	sinx		2cosx		2sinx
= −		−		−
	x		x2		x3

	cosx		sinx		−2x2sinx−4xcosx		2x3cosx−6x2sinx
f'''(x) = −		+		−		−		=
	x		x2		x4		x6

	cosx		sinx		2sinx		4cosx
= −		+		+		+		−
	x		x2		x2		x3

2cosx		6sinx		cosx		3sinx		6cosx		6sinx
	+		= −		+		+		+
x3		x4		x		x2		x3		x4

Wypisałem sobie jeszcze jedną pochodną i znalazłem wzór ogólny:

	n!sin(x)		n!   cosx 1
f(n)(x) = (−1)n		+ (−1)n+1		+
	xn+1		xn

	n!   sinx 1*2		n!   cosx 1*2*3
(−1)n+1		+ (−1)n		+
	xn−1		xn−2

	n!   sinx 1 *2 * 3 * 4		πn   sin(x + )   2
+ (−1)n		+ ... +
	xn−3		x

Sporo analizowania, żeby wyszło, ale się udało. Pozostaje problem ograniczenia, nie wiem czy zadanie polega na znalezieniu wzoru ogólnego.

Godzio: W 3 pochodnej poknociłem coś znaki, ale wzór ogólny jest już ok.

Godzio: Prościej:

	sinx		1
f(n)(x) = (		)(n) = (sinx *		)(n) =
	x		x

Ze wzoru Leibniza mamy:

	n k		1
= ∑k=0n		(sinx)(k) * (		)(n−k) =
			x

	n k		kπ		(−1)n−k (n−k)!
= ∑k=0n		sin(x +		) *
			2		xn−k+1

Ale i tak nie wymyśliłem co dalej. Dobranoc

Saizou : Myślałem, że da się to jakoś oszacować ale na razie tego też nie widzę :c

Benny: Ładne wzorki Godzio . Trzeba będzie trochę poczytać.