Zadanie Radek: Błagam Pomóżcie Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma długość 1 . Obliczyć długości boków tego trójkąta wiedząc, że są one liczbami całkowitymi.

Nikka: Spróbuję

	2P
Promień okręgu wpisanego w trójkąt wyraża się wzorem r =		gdzie P−pole trójkąta;
	a+b+c

a,b,c − długości boków trójkąta.

	1
P =		a*b bo trójkąt prostokątny
	2

Ze wzoru na r ( i r=1) pole jest równe:

	a+b+c
P =
	2

1		a+b+c
	*a*b =
2		2

ab = a+b+c → c = ab − (a+b) Z tw. Pitagorasa c² = a² + b² [ab−(a+b)]² = a² + b² a²b² − 2ab(a+b) + (a+b)² = a² + b² a²b² − 2a²b − 2ab² + a² + 2ab + b² = a² + b² a²b² − 2a²b − 2ab² + 2ab = 0 ab(ab − 2a − 2b +2) = 0 ab≠0 bo a, b − długości boków trójkąta czyli ab − 2a − 2b +2 = 0 a(b−2) − 2b + 4 − 2 = 0 (dodaję i odejmuję po lewej stronie 2) a(b−2) −2(b−2) = 2 (b−2)(a−2) = 2 Z powyższego iloczyn dwóch liczb ma być równy 2, czyli możemy rozpatrzyć dwa iloczyny 1*2 lub 2*1 Z pierwszego iloczynu: b−2 = 1 i a−2 = 2 → b = 3 i a = 4 i z tw. Pitagorasa c = 5 Z drugiego: b−2 = 2 i a−2 = 1 → b = 4 i a = 3 i c = 5.

Nikka: troszkę rysunek mi nie wyszedł − okrąg jest styczny do wszystkich boków Δ

Radek: Dziękuje

Nikka: proszę mam nadzieję, że nic nie namieszałam