Ekstrema lokalne oraz monotoniczność funkcji. Arek9595: Oblicz ekstrema lokalne funkcji oraz zbadaj monotoniczność: f(x)= x/x²+4. Pomoże ktoś?

J: tak ... zacznij od pochodnej

Arek9595: pochodna wyliczona, f'(x)= −x²+4/(x²+4)² lub 4−x²/(x²+4)². Z postaci pochodnej tej pierwszej gdy przyrównałem do 0, −x²+4/(x²+4)²>0 wyszło mi że −1>0, uniemożliwiło mi to wyliczenia miejsc zerowych funkcji a co za tym idzie przejść do następnego etapu, rozwiązałem ten przykłąd z drugiej postaci 4−x²/(x²+4)²>0 wszystko fajnie wyszło, maksimum lokalne= −1/5 a minimum lokalne =1/5. I teraz mam pytanie dlaczego z tej pierwszej którą podałem wyszedł mi taki dziwny zapis po przyrównaniu do zera (−1>0) i czy obliczyłem dobrze ekstrema lokalne?

J: do bani ..

	−x2 + 4
f'(x) =		... kiedy pochodna się zeruje ?
	(x2 + 4)2

Arek9595: Pochodna się zeruje czyli, kiedy wykres przecina się z osią x tak?

J: − x² + 4 = 0 ⇔ ?

Arek9595: ⇔ x=2

J: tylko ?

Arek9595: ⇔ x=2 i x=−2,

J: x = −2 lub x = 2 teraz kluczowe pytanie, czy w tych punktach pocodna zmienia znak ?

Arek9595: co w związku z tym, prosiłbym o nakierowanie na właściwy tor.

J: znak pochodnej zależy tylko od znaku licznika, bo mianownik jest zawsze dodatni porafisz naszkicować wykres licznika pochodnej, czyli funkcję; y = −x² + 4 ?

Arek9595: chodzi o to, że f(x) jest rosnąca ⇔ gdy f'(x) jest >0

Arek9595: ?

Arek9595: Jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola, wystarczy wyliczyć miejsca zerowe, współczynnik kierunkowy jest ujemny także ramiona skierowane są do dołu

Arek9595: Dalszą część zadania przypuszczam że potrafię wykonać, z wykresu odczytuję dla jakiego przedziału funkcja jest dodatnia a dla jakiego ujemna, dla jakiego przyjmuje wartość 0. Następnie na podstawie tych informacji jestem w stanie zapisać dla jakiego przedziału funkcja jest rosnąca, malejąca czy odczytać maksimum lokalne i minimum lokalne.

Arek9595: x=2 i x=−2 są to argumenty wyłączone z dziedziny funkcji? czyli Df= R/(−2 i 2)? ale dlaczeo dziedzinę liczyłem dla licznika a nie dla mianownika?

J: dokładnie tak ... analizuj wykres licznika pochodnej: y = −x² + 4

J: a dlaczego uważasz,że te punkty nie należą do dziedziny ?

Arek9595: mój błąd, robiłem to zadanie schematem nawiązując do poprzedniego bez zrozumienia i zastanowienia. Df=R, natomiast x=2 i x=−2 są to punkty przecięcia wykresu pochodnej z osią x. Dobrze to interpretuję?

Arek9595: Mianownik pochodnej będzie zawsze dodatni ponieważ x² jest zawsze dodatni.

J: dokładnie ... licznika pochodnej

Arek9595: Dziękuję bardzo za wyjaśnienie i pozdrawiam.