. Ola: Oblicz granice ciągów

	2−n−1
a) an =		sin(n2−2)
	3n

	1
b) bn =		sin(n2)
	n

	√n
c) cn =
	√2n+√3n+√4n

Janek191: − 1 ≤ sin ( n² − 2) ≤ 1 więc

	2−n − 1		2−n −1
−		≤ an ≤
	3 n		3 n

oraz

	1   − 1   2n		1   − 1 2n
lim −		= 0 i lim		= 0
	3 n		3 n

n→∞ n→∞ więc na mocy tw. o trzech ciągach lim a_n = 0 n→∞

Janek191:

	1
b) lim bn = 0 , bo − 1 ≤ sin n2 ≤ 1 oraz lim		= 0
	n

n→∞ n→∞ na podstawie tw. o trzech ciągach.

Ola: dziękuję pomógłbyś jeszcze z jedną?

	1		1
an = (3+n3)		to		jest w potędze
	n		n

wiem, że trzeba zamienic na pierwiastek stopnia n i tw. 3 ciagów, tylko nie wiem za bardzo jak.

Janek191: a_n = ⁿ√ 3 + n³ b_n = ⁿ√n³ = ( ⁿ√n)³ c_n = ⁿ√ 2 *n³ = ⁿ√2*(ⁿ√n)³ więc b_n ≤ a_n ≤ c_n oraz lim b_n = 1 n→∞ lim c_n = 1*1 = 1 n→∞ zatem na podstawie tw. o trzech ciągach lim a_n = 1 n→∞

Janek191: Trzeba pamiętać,że lim ⁿ√n = 1 n→ ∞ oraz lim ⁿ√a = 1 , dla a > 0 n →∞

Janek191: ?

Ola: rozumiem. dzięki undefined